%Origine http://www.upbm.net/download/down/stl_2002.pdf
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\rhead{\small Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Antilles--Guyane~\decofourright \\juin 2002  Biochimie--Génie biologique}}
    
\vspace{0,5cm}

%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Évolution d'une population de levures}

%\medskip
%
%Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 
%
%\[f(t) =\dfrac{650}{1+ 64\text{e}^{-0,5t}}\]
%
% et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  ~%Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies à 1 unité près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&4	&8	&12	&16	&20	&24	&28	&30\\ \hline
$f(t)$	&10	&67	&299	&561	&636	&648	&650	&650	&650\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \left(1 + 64\text{e}^{-0,5t}\right)$  ; en déduire $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$. Donner l'interprétation graphique de ce résultat.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,5t} = 0$, d'o\`u $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 1+ 64\text{e}^{-0,5t} = 1$ et donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 650$.

Graphiquement, ce résultat signifie que la droite d'équation $y = 650$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de plus l'infini.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty]$ par
		
%\[f'(t) = \dfrac{\np{20800}\text{e}^{-0,5t}}{\left(1 + 64\text{e}^{-0,5t} \right)^2}.\]
La dérivée de $\text{e}^{-0,5t}$ est $-0,5\text{e}^{-0,5t}$, donc :

$f'(t) = - 0,5 \times 64 \times 650 \times \dfrac{- 1}{\left(1 + 64\text{e}^{-0,5t} \right)^2} = \dfrac{\np{20800}\text{e}^{-0,5t}}{\left(1 + 64\text{e}^{-0,5t} \right)^2}$. 
		\item %Étudier le signe de $f'$ suivant les valeurs de $t$.
Comme $\text{e}^{-0,5t}  > 0$ quel que soit le réel $t$, $1 + \text{e}^{-0,5t}  > 1$ et $\left(1 + 64\text{e}^{-0,5t} \right)^2 > 1$.

Le dénominateur est positif et le numérateur produit de deux nombres positifs est lui aussi positif donc finalement le quotient est positif.

$f'(t) > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty]$.
		\item %Dresser le tableau de variations de $f$.
Avec $f(0) = 10$, on en déduit le tableau de variation suivant : 

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)  \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$0$}  \uput[u](7.5,2.5){$+\infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(5,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(7.5,1.5)
\uput[u](2.2,0){$10$} \uput[d](7.5,2){$650$}
\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
Une équation de $T$ est $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

Avec $f(0) = 10$ et $f'(0) = \dfrac{\np{20800}}{65^2} = \dfrac{64}{13}$, on obtient $y =  \dfrac{64}{13}x + 10$.
\item %Tracer, dans le repère \Oij{} l'asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. On prendra en abscisse $1$~cm pour $2$~unités et en ordonnée $1$~cm pour
%$50$~unités.
Voir à la fin de l'exercice.
\item %On étudie l'évolution d'une population de levures cultivées dans un milieu non renouvelé. On admet que $f(t)$ est une bonne évaluation du nombre d'individus, par cm$^3,~t$ heures après le début de l'observation.
	\begin{enumerate}
		\item %Décrire l'évolution de la population de levures dans le temps.
		D'après les questions précédentes une population initiale de  10 levures augmente jusqu'à plafonner à 650.
		\item %Quel était le nombre d'individus au début de l'observation ?
La population initiale était de 10 levures.
		\item %Déterminer graphiquement le temps au bout duquel la population dépassera $500$~individus.
On trace la droite d'équation $y = 500$ qui coupe $\mathcal{C}_{f}$ en un point dont on lit l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. Voir la figure  ; on lit à peu près $t = 10,7$ soit à peu près 10 heures 42 minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

%Lors d'une mission de Médecins Sans Frontières, on a analysé le sang de la population d'une ville sur un échantillon représentatif de 8\:000 personnes.
%Les résultats concernant la répartition selon les Rhésus $+$ et Rhésus $-$ et selon les quatre groupes sanguins A, B, A--B et O sont les suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item Il y a 70\,\% de ces 8\:000 personnes qui sont Rhésus $+$. Parmi les personnes de Rhésus
%$+$, 33\,\% sont de groupe A, 48\,\%  de groupe O et 260 personnes sont de groupe AB.
%\item  Parmi les Rhésus négatifs, il y a 17\,\% qui sont de groupe B, $\dfrac{1}{12}$ de groupe AB et il y a autant de personnes de groupe A que de groupe O.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau suivant des effectifs :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{\begin{tabular}{l}Groupe\\ Sanguins\\
\end{tabular}}{Rhésus}&A& B& AB& O& TOTAL\\ \hline
$+$&\np{1848}	&804	&260&\np{2688}	&\np{5600}\\ \hline
$-$&896			&408&200&896		&\np{2400}\\ \hline
TOTAL&\np{2744}&\np{1212}&460&\np{3584}&\np{8000}\\ \hline
\end{tabularx}



\medskip

\item %On choisit au hasard une personne de l'échantillon.

%On considère les évènements suivants :

%E$_{1}$ :  \og La personne observée est de Rhésus $-$ \fg ;

%E$_{2}$ : \og La personne observée est de groupe O \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  %Définir par une phrase en français les évènements suivants :
%\begin{center} $\overline{\text{E}_{2}}$ \hspace{1,5cm}; \hspace{1,5cm}  E$_{1} \cap  \text{E}_{2}$ 
%\end{center}
$\overline{\text{E}_{2}}$ : \og La personne observée est de Rhésus + \fg{} ;

E$_{1} \cap  \text{E}_{2}$ : \og La personne observée est O+ \fg.
		\item %Déterminer la probabilité, à $10^{-2}$ près, des évènements suivants :
%\begin{center} E$_{2} \quad  ; \quad \overline{\text{E}_{2}} \quad ; \quad \text{E}_{1} \cap \text{E}_{2} \quad ; \quad  \text{E}_{1} \cup \text{E}_{2}$\end{center}
$p\left(\text{E}_{2} \right) = \dfrac{\np{3584}}{\np{8000}} = \dfrac{448}{\np{1000}} = 0,448$ ;

$p\left(\overline{\text{E}_{2}} \right) = 1 - 0,448 = 0,552$ ;

$p\left(\text{E}_{1} \cap \text{E}_{2} \right) = \dfrac{896}{\np{8000}} = \dfrac{112}{\np{1000}} = 0,112$ ;

$p\left(\text{E}_{1} \cup \text{E}_{2} \right) = \dfrac{\np{5088}}{\np{8000}} = \dfrac{636}{\np{1000}} = 0,636$.
		\item %Définir par une phrase en français, l'évènement $\overline{\text{E}_{1}} \cup \overline{\text{E}_{2}}$ et calculer sa probabilité.
$\overline{\text{E}_{1}} \cup \overline{\text{E}_{2}}$ : \og La personne observée est de Rhésus + ou n'est pas de groupe O \fg.0

$p\left(\overline{\text{E}_{1}} \cup \overline{\text{E}_{2}} \right) = \dfrac{\np{5600} + 896 + 408 + 200}{\np{8000}} = \dfrac{\np{7104}}{\np{8000}} = \dfrac{888}{\np{1000}} = 0,888$.
	\end{enumerate}
\item %Si l'on choisit une personne de groupe O, déterminer à $10^{-2}$ près la probabilité qu'elle soit de Rhésus $+$.000
Sur les \np{3584} personnes de groupe O, il y en a \np{2688} de Rhésus + ; la probabilité de choisir l'une de ces personnes est donc égale à : $\dfrac{\np{2688}}{\np{3584}} = 0,75$
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.02cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(24,670)
\rput(12,670){Figure de l'exercice 1}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=100]{->}(0,0)(24,660)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=10,labels=none]{->}(0,0)(24,660)
\psline[linewidth=1.5pt](0,650)(24,650)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,500)(10.73,500)(10.73,0)
\psplot{0}{10}{64 x mul 13 div 10 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{650 2.71828  0.5  x mul neg exp 64 mul 1  add div}
\multido{\n=0+4}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,650)}
\multido{\n=0+100}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(24,\n)}
\uput[d](10.7,-20){$\approx 10,7$}
\uput[d](6,650){$y = 650$}\uput[d](8,75){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}