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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie--Génie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{ juin 2003}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie  La Réunion juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 }  \hfill 8 points}

\medskip

On donne les hauteurs, en centimètres, d'une plante mesurée tous les trois jours à midi du 1\up{er} au 16 juillet : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
jour $x_{i}$		&	1	&	4&	7	&	10	&	13	&	16\\ \hline
hauteur $h_{i}$	& 6,5	& 8,4& 12	& 15,4	& 19,7	& 	24,6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On pose $y_{i} = \ln h_{i}$.\\
Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $10^{-2}$ près : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
jour $x_{i}$			&1	&4	&7	&10	&13 	&16\\ \hline
$y_{i} = \ln h_{i}$& 	& 	&	&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}(x_{i}~;~y_{i})$ avec
$y_{i} = \ln h_{i}$ en prenant comme unités : 1 cm sur l'axe des abscisses, 5 cm sur
l'axe des ordonnées.
\item G$_{1}$ désigne le point moyen des trois premiers points du nuage et G$_{2}$ celui des trois derniers points.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées des points G$_{1}$ et G$_{2}$. 
		\item Déterminer une équation de la droite D passant par les points G$_{1}$ et G$_{2}$.
		\item Tracer D sur le graphique. 
	\end{enumerate}
\item On admet que cette droite constitue un bon ajustement du nuage.
 
À partir de l'ajustement précédent, exprimer la hauteur $h$ de la plante en
fonction du jour $x$ du mois de juillet et montrer que l'on peut écrire
$h(x) = C\text{e}^{0,09x}$ avec $C  \approx 6,05$.
\item On suppose que la croissance se poursuit ainsi tout le mois de juillet.
	\begin{enumerate}
		\item À quelle date la plante mesurera-t-elle 40 cm ?
		\item Quelle sera la hauteur atteinte le 31 juillet à midi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$  par :

\[ f(x) = 0,004\text{e}^x - 0,5x, \]

dont une représentation graphique est donnée ci-dessous.

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(-4,-2)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(8,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-4,-2)(8,4)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{7.5}{2.71828 x exp 0.004 mul 0.5 x mul sub}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers  $- \infty$.
		\item En écrivant que, pour $x$ différent de $0$, on a $f(x) = x\left(0,004\dfrac{\text{e}^x}{x} - 0,5\right)$, 
déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.	
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.	
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $0,004\text{e}^x  - 0,5 = 0$ et montrer que la solution obtenue peut s'écrire $3 \ln 5$.	
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $0,004\text{e}^x  - 0,5 > 0$.
	\end{enumerate}	
\item Donner le tableau de variations de $f$.	
\item On désigne par $x_{1}$ et $x_{2}$ les solutions de l'équation $f(x) = 0$, où $x_{1}$ désigne la plus petite et $x_{2}$ la plus grande. Par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $x_{1}$ et $x_{2}$ ;
		\item déterminer le signe de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution  $x_{2}$ de l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}
\end{document} 