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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie--Génie biologique}\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2004~\decofourright\\
Biochimie - Génie biologique}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Des résultats expérimentaux}

\medskip

On peut estimer l'âge de très vieux troncs d'arbres de deux façons :

$\bullet~$  d'une part, en étudiant les anneaux de croissance ;

$\bullet~$ d'autre part, en mesurant la radioactivité résiduelle du carbone 14.

On a ainsi analysé d'anciens morceaux de séquoias et de pins par les deux
 méthodes.

Voici le tableau des résultats obtenus : 

$t$, est l'âge, en milliers d'années, donné par la méthode des anneaux de 
croissance ;

 $A_i$ est la radioactivité résiduelle exprimée en unité de radioactivité.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$&0,5&1&2&3&4&5&6,3&7,8\\ \hline
$A_i$&14,5&13,5&12&10,8&9,9&8,9&8&6,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Recopier et complèter le tableau suivant où $\ln A_i$, est le logarithme  népérien de $A_i$. On arrondira les valeurs trouvées au centime le plus proche.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$				&0,5	&1	&2	&3	&4	&5	&6,3&7,8\\ \hline
$y_{i} = \ln A_{i}$	&2,67	&	&	&	&	&	&	&1,92\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer le nuage de points $M_i\left(t_{i}~;~y_i\right)$

On prendra	en abscisses : 1 cm pour 500~ans ; en ordonnées : 5 cm pour une unité.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la droite $D$ passant par le 
premier et le dernier point de ce nuage.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage.
		\item Le point $G$ appartient-il  $D$ ?
		\item Placer $G$ et $D$ sur le dessin précédent.
	\end{enumerate}
\item On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la méthode des anneaux de croissance) vieux de 5\,700 ans.

Donner alors la radioactivité résiduelle qu'on lui trouverait en utilisant
 la droite $D$ précédente :
 	\begin{enumerate} 
		\item graphiquement, en faisant apparaître sur le dessin les traits permettant la  lecture du résultat ;
		\item par le calcul, en prenant pour équation de $D : y = -0,1 t + 2,72$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\textbf{Des résultats théoriques}

\vspace{0,4cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Les êtres vivants contiennent du carbone 14 radioactif (constamment 
renouvelé) qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.

À leur mort, ce carbone 14 n'est plus renouvelé ; il est désintégré à une vitesse  proportionnelle, à  tout instant, au carbone 14 encore présent dans l'organisme. On montre que le coefficient de proportionnalité est voisin de 0,123.
 
Ainsi, la radioactivité du carbone 14 présent dans un organisme
à  l'instant $t$ après sa mort ($t$ exprimé en milliers d'années), 
 notée $f(t)$, vérifie les deux conditions :

\[f'(t)=- 0,123f(t)\qquad 	\text{et} \qquad	f(0) = 15,3.\]

Résoudre l'équation différentielle $y'= - 0,123 y$    et $y(0) = 15,3$.

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On étudie sur $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f$ définie par 

\[f(t) = 15,3 \text{e}^{-0,123t}.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote (que l'on précisera) à  $\mathcal{C}$ courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour tout nombre $t$ positif, calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la dérivée de  $f$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\item Construire $\mathcal{C}$ en prenant :

$\bullet~$ 2 cm pour 5 milliers d'années en abscisses,

$\bullet~$ 1 cm pour 1 unité en ordonnées. 

(On placera les points d'abscisses: 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 et 30).
\item Placer sur le dessin précédent la tangente T  $\mathcal{C}$ au point
d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la radioactivité du carbone 14 dans un organisme après sa mort, en fonction de $t$ (en milliers d'années).

\begin{enumerate} 
\item On trouve dans une grotte des débris d'os présentant une radioactivité égale à 10,2 unités. Estimer l'âge de ces débris à l'aide d'une lecture graphique.

\item Lorsque la radioactivité devient inférieure à $1\,\%$ de sa valeur initiale, le calcul de $f(t)$ est entaché de trop d'incertitude pour permettre de dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. Trouver à partir de quel âge, un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
\end{enumerate}
\end{document}