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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole  juin 2000~ \decofourright\\
Biochimie--Génie biologique}}
\end{center}   

\vspace{0,25cm}

%\begin{center}	\textbf{} 
%
%Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center}
%
%\vspace{0,5cm}

%\emph{Après la prise d'une boisson alcoolisée par une personne, on procède à l'étude de l'évolution de la quantité d'alcool présente dans son tube digestif} (\emph{exercice} I) \emph{puis dans les liquides du corps} (\emph{exercice} II).\emph{ Ces deux exercices peuvent être traités indépendamment l'un de l'autre.}

%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice I} \hfill 5 points}

\medskip

%À l'instant $t$, on note $u(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif avec $t$ exprimé en minutes et $u(t)$ en moles d'alcool. On a relevé les résultats  suivants :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{| c |*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_{i}$ (en min)			&0	&1,5	&4,5	&9		&15		&18\\ \hline
%$u_{i} = u(t_{i})$ (en mole)&1,2&0,94	&0,56	&0,26	&0,10	&0,06\\\hline
%\end{tabularx} \end{center}

%On pose $v_{i} = \ln (u_{i})$.

\begin{enumerate}
\item	%Recopier et compléter, avec des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près, le tableau suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{| c |*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_{i}$ (en min)			&0	&1,5	&4,5	&9		&15		&18\\ \hline
%$u_{i} = u(t_{i})$ (en mole)&1,2&0,94	&0,56	&0,26	&0,10	&0,06\\\hline
%\end{tabularx} \end{center}
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
$t_{i}$	&0		&1,5	&4,5		&9			&15			&18\\ \hline
$v_{i}$ &0,18 	&$-0,06$ &$- 0,58$ 	&$- 1,35$ 	&$-2,30$ 	&$- 2,81$ \\ \hline
\end{tabularx} \]

\item %Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~v_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées).

%Que remarque-t-on ?
Les points semblent être alignés.
\item %On désigne par G$_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage et par G$_{2}$ celui des trois derniers.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ et tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.
On a $\dfrac{0 + 1,5 + 4,5}{3} = 2$ et $\dfrac{0,18 - 0,06  - 0,58}{3} = -0,18$. Donc G$_{1}(2~;~-0,15)$.

$\dfrac{9 + 15 + 18}{3} = 14$ et $\dfrac{-1,35 - 2,30 - 2,81}{3} \approx - 2,15$. Donc G$_{2}(14~;~- 2,15)$.
		\item %Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous la forme $v = mt + p$.
G$_{1} \in $ (G$_{1}$G$_{2}) \iff -0,15 = 2m + p$ et 

G$_{2} \in $ (G$_{1}$G$_{2}) \iff -2,15 = 14m + p$.

Par différence on obtient $12m = -2 \iff m = - \dfrac{2}{12} = - \dfrac{1}{6} \approx - 0,17$ puis 
$p = -0,15 - 2 \times \left( \right)- \dfrac{1}{6} = \dfrac{0,55}{3}$, soit au centième près $p \approx 0,28$.

$M \in $ (G$_{1}$G$_{2}$) $\iff v = - 0,17t + 0,18$.
	\end{enumerate}
%\emph{On admet que cette droite constitue un bon ajustement du nuage de points} $M_{i}$.
\item %À partir de cet ajustement, déterminer la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif de cette personne à l'instant $t = 20$.
Avec l'équation précédente on obtient : $v = -0,19 \times 20 + 0,96 = -3,8 + 0,96 = - 2,84 = \ln u \iff \text{e}^{-2,84} = u  \approx 0,06$~(mole). 
\item %On admet désormais que la fonction $u$ est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

%\[u'= - 0,17u \qquad \text{avec}\quad u(0) = 1,2.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ cette équation différentielle.
On sait que les solutions de l'équation différentielle sont de la forme 

$u = C\text{e}^{-0,17t}$ avec $C \in \R$.

La solution vérifiant la condition $u(0) = 1,2$ est telle que :

$C\text{e}^{-0,17\times 0} = 1,2 \iff C = 1,2$.

On a donc $u = 1,2\text{e}^{-0,17t}$
		\item %Calculer $u(20)$ et comparer avec le résultat obtenu expérimentalement à la question \textbf{4.} précédente.
		On a $u(20) = 1,2\text{e}^{-0,17 \times 20} = 1,2 \times \text{e}^{-3,4} \approx 0,04$~(mole).
		
On trouve une valeur inférieure à celle obtenue avec la droite (G$_{1}$G$_{2}$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.666cm,yunit=1.3333cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(18,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-3)(18,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-3)(18,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,0.18)(1.5,-0.06)(4.5,-0.58)(9,-1.35)(15,-2.3)(18,-2.81)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,-0.15)(14,- 2.15)
\uput[u](2,-0.15){G$_{1}$} \uput[u](14,- 2.15){G$_{2}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{0.18 0.167 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice II} \hfill 10 points}

\medskip

%\emph{Après absorption, l'alcool se répartit dans les liquides du corps, en particulier dans le sang, où il est dégradé et évacué.}

%À l'instant $t$, on note $q(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans les liquides du corps avec $t$ exprimé en minutes et $q(t)$ en moles d'alcool.

%On admet que sur l'intervalle [0~;~400], l'expression de  $q(t)$ en fonction de $t$ est :

%\[q(t) =  1,2 - 2,9 \cdot 10^{-3}t - 1,2\text{e}^{-0,17t}.\]

\begin{enumerate} 
\item %Vérifier que $q(0) = 0$.
On a $q(0) = 1,2 - 2,9 \cdot 10^{-3}\times 0 - 1,2\text{e}^{-0,17\times 0} = 1,2 -1,2 \times 1 = 0$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que la fonction $q'$ dérivée de $q$ vérifie

%\[q'(t) = 0,204\text{e}^{-0,17t} -2,9 \cdot 10^{-3}.\]
On a $q'(t) = - 2,9 \cdot 10^{-3} - 1,2\text{e}^{-0,17t} \times (-0,17) = - 2,9 \cdot 10^{-3} + 0,204\text{e}^{-0,17t}$.
		\item %Montrer que l'équation $q'(t) = 0$ admet une unique solution $t_{0}$. Calculer une valeur approchée, au centième près, de $t_{0}$ et de $q(t_{0})$.
$q'(t) = 0 \iff - 2,9 \cdot 10^{-3} + 0,204\text{e}^{-0,17t} = 0 \iff 0,204\text{e}^{-0,17t} = 2,9 \cdot 10^{-3} \iff \text{e}^{-0,17t} = \dfrac{2,9 \cdot 10^{-3}}{0,204}$ soit en prenant le logarithme népérien de chaque membre :

$-0,17 t = \ln \left[\dfrac{2,9 \cdot 10^{-3}}{0,204} \right] \iff - 0,17 t = -4,253 \iff t \approx 25$~(min).

Donc $t_{0} = 25$, d'o\`u $q\left(t_{0} \right) = 1,2 - 2,9 \cdot 10^{-3}\times 25 - 1,2\text{e}^{-0,17\times 25} =$

$ 1,2 - 0,0725 - 0,017 \approx 1,11 $.
		\item %Résoudre sur l'intervalle [0~;~400] l'inéquation $q'(t) \geqslant 0$. En déduire les variations de la fonction $q$ sur cet intervalle et dresser son tableau de variations.
On a $q'(t) \geqslant 0 \iff - 2,9 \cdot 10^{-3} + 0,204\text{e}^{-0,17t} \geqslant 0 \iff$

$ 0,204\text{e}^{-0,17t} \geqslant 2,9 \cdot 10^{-3} \iff t \leqslant 25$.

De même on aurait : $q'(t) \leqslant 0 \iff t \geqslant 25$.

On peut déduire le tableau de variations suivant de $q$ :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$t$} \uput[u](2.1,2.5){$0$}\uput[u](5,2.5){$25$}\uput[u](7.5,2.5){$+\infty$}
\rput(1,2.25){$q'(t)$}\rput(1,1){$q(t)$}\uput[d](5,2){$1,11$}
\rput(3.5,2.25){+}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $q$ (unités graphiques 1~cm pour 20~minutes sur l'axe des abscisses et 10~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).
Voir à la fin.
\item %Déterminer graphiquement l'instant $t$, à partir duquel la quantité d'alcool redevient inférieure à 0,44~mole (cette quantité correspond pour cette personne à un taux d'alcoolémie de 0,5~g d'alcool par litre).
On lit approximativement $t \approx 262$~(min) soit 4 h 22 min.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.04cm,yunit=9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-0.1)(300,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400]{->}(0,0)(-5,-0.1)(300,1.2)
\uput[d](300,0){$t$}\uput[l](0,1.2){$q(t)$}\uput[d](25,0){$t_{0} = 25$}
\psline[linestyle=dashed](25,0)(25,1.11)(0,1.11)\uput[d](262,0){262}
\uput[l](0,1.11){1,11}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{->}(0,0.44)(262,0.44)(262,0)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{300}{1.2 0.0029 x mul sub 1.2 2.71828 0.17 x mul exp div sub}
\multido{\n=0+10}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.2)}
\multido{\n=0.00+0.05}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(300,\n)}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

1,2 - 2,9 \cdot 10^{-3}t - 1,2\text{e}^{-0,17t
