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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique}\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}    
\thispagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie~\decofourright\\Métropole  juin 2001}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Une station pompe l'eau d'une rivière pour la transformer ensuite en eau
% potable. Lors d'une pollution, elle doit interrompre ses prélèvements
% le temps que la vague de pollution soit évacuée par le courant. On 
%suppose qu'à partir de l'alerte, donnée à l'instant 0, la concentration
% en polluant $P$, exprimée en milligrammes par litre (mg/l), dépend du
% temps $t$, exprimé en heures, suivant la relation : 
%
%\[P(t) = 100 t \text{e}^{-t}\qquad  \text{pour}~ t ~\text{appartenant à
% l'intervalle [0 ; 5]}.\]
% 
%\vspace{0,3cm} 

\begin{enumerate} 
\item ~%Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en donnant des valeurs arrondies à l'entier le plus proche :
  
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ en heures	&0	&0,5&1 &1,5	&2	&2,5&3	&3,5&4 	&4,5&5\\ \hline
$P(t$) en mg/l	&0	&30	&37&33	&27	&21	&15	&11	&7	&5	&3 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Montrer que la dérivée $P'$ est définie sur l'intervalle [0~;~5] par :
 
%\[P'(t) = 100 \text{e}^{- t} (1 - t).\]
La dérivée de $\text{e}^{- t}$ est $- \text{e}^{- t}$, donc sur [0~;~5] :

$P'(t) = 100\text{e}^{- t} - 100t\text{e}^{- t} = 100 \text{e}^{- t} (1 - t)$.
\item %Étudier le signe de la dérivée $P'$ et dresser le tableau de variation de la fonction $P$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 5]. 
Comme $100t > 0$ sur [0~;~5], le signe de $P'(t)$ est celui de $1 - t$.

$1 - t > 0 \iff 1 > t \iff t < 1$. Donc sur [0~;~1[, $P'(t) > 0$ : la fonction est croissante ;

$1 - t < 0 \iff 1 < t \iff t > 1$. Donc sur $[1~;~5[,~P'(t) < 0$ : la fonction est décroissante.

Il y a donc un maximum : $f(1) = 100 \times 1 \text{e}^{-1} = \dfrac{100}{\text{e}}$.

D'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,3)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){1}\uput[u](7.8,2.5){$5$}
\rput(1,2.25){$P'(t)$} \rput(3.5,2.25){+}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$}\rput(1,1){$P(t)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[u](2.1,0){0}\uput[d](5,2){$100\text{e}^{-1}$}\uput[u](7.5,0){$500\text{e}^{-5}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_P$ de la fonction $P$ dans un repère orthogonal en prenant en abscisse 2 cm pour une heure et en ordonnée 2 cm pour 5 mg/l de pollution.
Voir plus bas. 
\item %Les normes en vigueur indiquent que ce polluant devient dangereux pour la santé si sa concentration dépasse 5 mg/l. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer graphiquement à partir de quel instant $t_0$ la station peut reprendre son pompage sans risque pour la santé (on laissera les constructions apparentes).
		Voir la figure ; on trouve approximativement $t_{0} = 4,5$. 
	\item %Entre le début de l'alerte et l'arrêt effectif du pompage, il s'est écoulé exactement 6 minutes. Peut-on affirmer que l'eau prélevée a toujours été conforme aux normes en vigueur vis-à-vis de ce polluant ? On justifiera la réponse à l'aide d'un calcul.
6 min $= \dfrac{6}{60} = \dfrac{1}{10}~$(h).

Donc $P\left(\frac{1}{10}\right) = 100 \times \dfrac{1}{10}\text{e}^{-0,1} = 10\text{e}^{-0,1} \approx 9,05$.

Pendant les 6 minutes la pollution a cru de $0$ à 9,05 : la pollution a donc dépassé le  seuil d'alerte de  5~mg/l.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=0.4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,40)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(5,40)
\uput[d](5,0){$t$}\uput[l](0,40){$P(t)$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{100 x mul 2.71828 x exp div}
\multido{\n=0.0+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(5,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,5)(4.5,5)(4.5,0)\uput[d](4.5,0){$t_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%Données scientifiques concernant le brochet
%
%La croissance observée en centimètres suivant l'âge est indiquée dans
% le tableau ci-dessous :
% 
%\vspace{0,5cm}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%âge du brochet en années& 1	& 2	& 3& 4& 5\\ \hline
%taille en centimètres	& 23& 36&43&55&62\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%La longévité de l'espèce (âge maximal) est évaluée à neuf années.
%
%Très nombreux à la naissance, les brochets se font plus rares à
% l'âge adulte, les spécimens très âgés devenant exceptionnels. Ainsi sur
% \np{1000} brochets qui viennent de naître, seuls 10 parviendront à l'âge de 8 ans. 
%
%Le graphique de la page suivante représente le nuage de points correspondant aux données du tableau. 

\begin{enumerate} 
\item %Un ajustement linéaire du nuage semble-t-il justifié ? 
Les points sont sensiblement alignés : un ajustement linéaire du nuage semble justifié
\item %On désigne par G$_1$ le point moyen du trois premiers points du nuage et par G$_2$ celui des deux derniers
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ et tracer la droite (G$_1$G$_2$) sur le graphique.
		On trouve G$_{1}(2~;~34)$ et G$_{2}(4,5~;~58,5)$.
		\item %Montrer que la droite (G$_1$G$_2$) admet pour équation réduite :
		
%$y = 9,8 x +14,4$.
La droite a un équation de la forme $y = ax + b$. En écrivant que les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ vérifient l'équation, on obtient :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
34 &=& 2a + b\\
58,5&=&4,5a + b
\end{array}\right. \Rightarrow~(\text{par différence})~24,5 = 2,5a \iff a = \dfrac{24,5}{2,5}  = \dfrac{98}{10} = 9,8$, puis $b = 34 - 2a = 34 - 2 \times 9,8 = 34 - 19,6 = 14,4$.

Une équation 	de (G$_1$G$_2$) est donc $y = 9,8 x + 14,4$.	
		\item %Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et montrer qu'il appartient bien à la droite (G$_1$G$_2$).
On trouve G$(5~;~43,8)$.

G$(3~;~43,8) \in \left(\text{G}_{1}\text{G}_{2} \right) \iff 43,8 = 9,8 \times 3 + 14,4 \iff 43,8 = 29,4 + 14,4$ égalité vraie, donc G appartient à la droite (G$_1$G$_2$). 
%Placer le point G sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item %On admet que cette droite constitue une bonne modélisation de la taille du brochet en fonction de son âge.
	\begin{enumerate} 
		\item %Résoudre algébriquement l'inéquation $9,8 x + 14,4 > 200$. Est-il  vraisemblable qu'un brochet dont la taille dépasse 200~centimètres puisse être observé ? 
$9,8 x + 14,4 > 200 \iff 9,8x > 200 - 14,4 \iff 9,8x > 185,6 \iff$

$x > \dfrac{185,6}{9,8} \iff x > \dfrac{\np{1856}{98}} \iff x > \dfrac{928}{49} \approx 18,94$.

L'ensemble solution est donc l'intervalle $\left]\frac{928}{49}~ ;~+ \infty\right[$.

Il est peu vraisemblable d'observer un brochet de 200~cm, puisqu'il lui faudrait atteindre un âge de plus de 18 ans alors que la longévité moyenne est de 8 ans.

		\item %Résoudre graphiquement l'équation $9,8 x + 14,4 = 100$.
Graphiquement il faut trouver l'abscisse de tous les points de la droite dont l'ordonnée dépasse 100.

On trace donc la droite d'équation $y = 100$ qui coupe la droite en un point d'abscisse approximative 8,8 soit à peu près 9~ans à l'unité près. Voir le tracé plus bas 
%En déduire l'âge d'un brochet mesurant 100~centimètres. (On donnera la valeur entière la plus proche et on laissera apparents les traits de construction ).
Un brochet de 1 m a donc à peu près 9~ans.
	\end{enumerate} 
\item %On souhaite construire un tableau indiquant le nombre de brochets $U_n$, présents dans un lac, en fonction de leur âge $n$, en adoptant comme modèle une suite géométrique décroissante de raison $q = 0,565$ et de premier terme $U_0 = \np{1000}$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer les nombres $U_1$ et $U_2$ (on donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche).
On a $U_1 = U_{0} \times q = \np{1000} \times 0,565 = 565$, puis $U_{2} = U_{1} \times q = 565 \times 0,565 \approx 319$.
		\item %Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche :
		
{\small\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.7cm}| *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.8cm}|} \hline
âge $n$ en années&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7& 	8& 9 
& nombre total de brochets  $U_n$\\  \hline
nombre de brochets $U_n$&565&319&180&102 &58 &33 &18 &10 & 6 & \np{1291}\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}}
	\end{enumerate}
\item %On pêche un des \np{1291} brochets âgés de un an et plus présents dans le lac. On suppose que tous ont la même probabilité d'être capturés 
	\begin{enumerate} 
		\item %Pour une bonne gestion piscicole, on ne peut conserver, après capture, qu'un poisson âgé de quatre ans et plus. On capture un brochet : quelle probabilité a-t-on de pouvoir le garder ? (On donnera un résultat à un dixième près)
Il y a $\np{1291} - (565 + 319 + 180) = \np{1291} -  \np{1064} = 227$.

La probabilité cherchée est donc égale à $\dfrac{277}{\np{1291}} \approx 0,2$.
		\item %Montrer que la probabilité de capturer un poisson dont la taille est un mètre, est d'environ 5 sur \np{1000}.
On a vu que les brochets de 1 m ont 9 ans ; or il y a 6 brochets de cet âge sur \np{1291}. La probabilité de capturer un brochet de 1~m est donc égale à $\dfrac{6}{\np{1291}}\approx \np{0,0046} \approx 0,005$ au millième près.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{ \textbf{À REMETTRE AVEC LA COPIE}}

\vspace{0,5cm}

Évolution de la taille d'un brochet en fonction de son âge

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(9,200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20](0,0)(9,200)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,200)} 
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.25](2,34)(4.5,58.5)(3,43.8)
\uput[d](2,34){G$_{1}$}\uput[d](4.5,58.5){G$_{2}$}   \uput[d](3,43.8){G}
\psplot{1}{9}{9.8 x mul 14.4 add} 
\psdots(1,23)(2,36)(3,43)(4,55)(5,62)
\rput(4.5,-20){Âge en années}
\rput{90}(-1,180){Taille en cm}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,100)(8.75,100)(8.75,0)    
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}