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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\makeatletter%graduations décimales
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\begin{document}
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\vspace{1cm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small  STL Biochimie Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\begin{center}  {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie, Génie 
Biologique~ \decofourright\\Métropole   juin 2002}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Des étudiants en agronomie procédent au croisement de deux variétés de pois, l'une ayant des graines jaunes et lisses, l'autre des graines vertes et ridées.
%
%En première génération, F$_{1}$, les graines obtenues sont toutes semblables entre elles, elles sont jaunes et lisses.
%
%L'expérience est poursuivie. Les étudiants croisent entre eux les individus de la génération F$_{1}$, pour obtenir la génération F$_{2}$.
%
%L'observation de \np{5431} graines issues de la génération 
%F$_{2}$ montre que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] \np{4069} graines sont jaunes dont \nombre{3057} lisses ;
%\item[$\bullet~$] 341 graines sont vertes et ridées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\emph{Dans les questions $2$ à $4$, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{- 3}$ près}.
%
%\vspace{0,4cm}

\begin{enumerate} 
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant (on ne justifiera pas les résultats) :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& graines jaunes& graines vertes& Total\\ \hline 
graines lisses		&\np{3057}		&\np{1021}		&\np{4078} \\ \hline
graines ridées		&\np{1012}		&341			&\np{1353} \\ \hline
Total				&\np{4069} 		&\np{1362} 		&\np{5431}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item %On tire au hasard une graine parmi les \np{5431} de cet échantillon, tous les tirages étant équiprobables. Calculer la probabilité des évènements suivants : 

%A : \og La graine est jaune \fg ; B : \og La graine est lisse \fg.
$p(\text{A}) = \dfrac{\np{4069}}{\np{5431}} \approx 0,749 \quad  p(\text{B}) = \dfrac{\np{4078}}{\np{5431}} \approx 0,751$.
\item %On considère les évènements suivants : A ~$\cap$~ B ; A ~$\cup$~ B ; $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}$  ou $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{B}}$ désignent les évènements contraires respectifs de A et B.

%Définir chacun de ces évènements par une phrase, puis calculer leur probabilité.
A ~$\cap$~ B : \og la graine est jaune et lisse \fg{} ;

A ~$\cup$~ B : \og la graine est jaune ou lisse \fg{} ;

$\overline{\text{A}}$ : \og la graine n'est pas jaune \fg{} ou \og la graine est verte \fg{} ;

$\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}$ : \og la graine n'est pas jaune et la graine n'est pas lisse \fg{} ou \og la graine est verte et la graine est ridée. \fg

$p(\text{A } \cap \text{B} ) = \dfrac{\np{3057}}{\np{5431}} \approx  0,563$ ;

$p(\text{A } \cup \text{B} ) = \dfrac{\np{1021} + \np{3057}  \np{1012}}{\np{5431}} = \dfrac{\np{5090}}{\np{5431}} \approx  0,937$ ;

$p\left(\overline{\text{A}} \right) = 1 - p(\text{A}) = 1 - \dfrac{\np{4069}}{\np{5431}}  = \dfrac{\np{1369}}{\np{5431}} \approx 0,251$ ;

$p\left(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}} \right) = \dfrac{341}{\np{5431}} \approx 0,063$.
\item %On prend, au hasard, une graine jaune. Quelle est la probabilité de l'évènement C \og la graine est ridée \fg ?
$p(\text{C}) = \dfrac{\np{1012}}{\np{4069}} \approx 0,249$.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%\textbf{PROTOZOAIRE} : être vivant unicellulaire, classé traditionnellement dans le règne animal. (dictionnaire \emph{Le Petit Robert})

%On étudie l'évolution d'une colonie de protozoaires placés dans un milieu limité.

%Le nombre $f(t)$ de protozoaires dépend du temps, exprimé en heures, selon la relation :

%\[f(t) = \dfrac{10^3}{1 + 4\text{e}^{-0,5t}}.\]

%pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

%$\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, d'unités graphiques :

%$\bullet~$ 1 cm pour 1 heure sur l'axe des abscisses ;

%$\bullet~$ 1 cm pour 100 protozoaires sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Étudier la limite de $f(t)$  quand $t$ tend vers $+ \infty$.
		Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,5t} = 0$,~$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 1 + 4\text{e}^{-0,5t} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 10^3 = \np{1000}$.
		\item %En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
Graphiquement le résultat précédent signifie que la droite d'équation $y = \np{1000}$ est a	symptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinagez de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la dérivée de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que pour tout nombre réel positif $t$ :

%\[f'(t) = \dfrac{\np{2000}\text{e}^{- 0,5t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,5t} \right)^2}.\]
La dérivée de $4\text{e}^{-0,5t}$ est $4\times (- 0,5)\text{e}^{-0,5t} = - 2\text{e}^{-0,5t}$. Donc 

$f'(t) = 10^3 \times \left(- \dfrac{- 2\text{e}^{-0,5t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,5t} \right)^2} \right) = \dfrac{\np{2000}\text{e}^{-0,5t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,5t} \right)^2}$.
		\item %Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
On sait que $\np{2000} > 0$,  $\text{e}^{-0,5t} > 0$ et $\left(1 + 4\text{e}^{-0,5t} \right)^2 > 0$, $f'(t) > 0$ sur $\R$ donc sur $[0~;~+\infty[$.  
		\item %Établir le tableau de variations de $f$.
Avec $f(0) = \dfrac{\np{1000}}{5} = 200$, on obtient le tableau de variation suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,3)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](7.5,2.5){$+\infty$}
\rput(1,2.25){$f'(t)$} \rput(5,2.25){+}\rput(1,1){$f(t)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(7.5,1.5)
\uput[u](2.3,0){200}\uput[d](7.5,2){\np{1000}} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Complèter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant. 
%Les valeurs de $f(t)$ seront arrondies à l'unité près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0 	&1 		&2	&4	&6	&8	&9	&10\\ \hline 
$f(t)$	&200 &292 	&405&649&834&932&957&974 \\ \hline 	
\end{tabularx}\]

\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et son asymptote.
Voir à la fin.
\item %Calculer l'instant $t_{0}$ où le nombre de protozoaires sera égal à 500.
%Donner une valeur approchée de $t_{0}$ à une minute près. 
Il faut résoudre : $f(t) = 500 \iff \dfrac{10^3}{1 + 4\text{e}^{-0,5t}} = 500 \iff \dfrac{2}{1 + 4\text{e}^{-0,5t}} = 1 \iff 2 = 1 + 4\text{e}^{-0,5t} \iff 1 = 4\text{e}^{-0,5t} \iff \dfrac{1}{4} = \text{e}^{-0,5t} \iff \ln \frac{1}{4} = - 0,5t {}$

$(\text{par croissance de la fonction logarithme népérien}) {} \iff - \ln 4 = -0,5t \iff \ln 4 = 0,5t \iff 2\ln 4 = t \approx 2,77$~(h) $\approx$ 2~h 46~min. 
\item %Déterminer graphiquement au bout de combien de temps, cette colonie de protozoaires dépassera $95\,\%$ de son taux de saturation qui s'élève à 
%\np{1000} individus. 

%(\emph{On fera apparaître sur la figure les construction utiles}.)
On trace la droite d'équation $y = 950$ qui coupe $\mathcal{C}$ en un point que l'on projette sur l'axe des abscisses pour trouver son abscisse . On trouve à peu près 8,7~h soit 8~h 42~min.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,1000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(12,1000)
\uput[d](12,0){$t$}\uput[l](0,1000){$f(t)$}\uput[d](8.7,0){$8,7$}
\uput[l](0,950){$950$}\uput[u](0.5,250){$\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,950)(8.7,950)(8.7,0)
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\end{pspicture}
\end{center}
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