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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie~\decofourright\\Métropole juin 2003}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 8 points}

\medskip

%Les 800 élèves d'un lycée possèdent une montre, soit du type M$_1$ soit du type M$_2$.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Il y a $70\,\%$ de montres de type M$_1$. 
%\item La  moitié des montres de type M$_1$ a un bracelet en cuir.
%\item $16,25\,\%$ des montres de type M$_1$ ont un bracelet métallique.
%\item Parmi les montres de type M$_2$, il y a trois fois plus de montres à
% bracelet en tissu que de montres à bracelet métallique
%\item Il n'existe pas de montres de type M$_2$ avec un bracelet en cuir.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item~ %Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Cuir 	&Métal 	&Tissu 	&Total\\ \hline
M$_1$ 					&280 	&91 	&189 	&560  \\ \hline
M$_2$ 					&0 		&60 	&180 	&240  \\ \hline
Total 					&280 	&151 	&369 	&800 \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item %Parmi l'ensemble de toutes les montres quel est le pourcentage des montres de type M$_2$ à bracelet en tissu ?
Le pourcentage est égal à $\dfrac{180}{800} \times 100 = 22,5\,\%$.
%Parmi les montres de type M$_2$, quel est le pourcentage de celles qui ont un bracelet métallique ?
Le pourcentage de montres à bracelet métallique est égal à $\dfrac{60}{240} \times 100 = 25\,\%$.
%\textbf{Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à} \boldmath  $10^{-3}$ \unboldmath  \textbf{près.}
\item %On choisit un élève au hasard parmi les 800 élèves du lycée.

%Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

%A \og la montre de l'élève a un bracelet métallique \fg{} ;
$p(\text{A}) = \dfrac{151}{800} \approx 0,189$ au millième près.
%B \og la montre de l'élève est de type M$_2$ \fg{}.
$p(\text{B}) = \dfrac{240}{800} = 0,3$ au millième près.
\item %Définir par une phrase les évènements A~$\cap$~B et A~$\cup$~B puis calculer leur probabilité.
A~$\cap$~B : \og la montre est de type M$_{2}$ avec un bracelet métallique \fg.

$p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{60}{800} = 0,075$.

A~$\cup$~B : la montre est de type M$_{2}$ ou elle a un bracelet métallique \fg.

$p(\text{A} \cup \text{B}) = \dfrac{151 + 240 - 60}{800} = \dfrac{331}{800} \approx  0,414$.
\item %On choisit au hasard un élève ayant une montre de type M$_1$.

%Quelle est la probabilité de l'évènement C \og la montre de l'élève a un bracelet en tissu \fg{} ?
$p(\text{C}) = \dfrac{189}{560} \approx 0,338$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A :  Étude d'une fonction}

\medskip

%Soit la fonction définie sur l'intervalle $[10~;~+ \infty[$ par :

%\[f(t) = \dfrac{\ln (t) - 2}{2t}.\]

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que $f(t)$ peut s'écrire sous la forme $f(t) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\ln (t)}{t} - \dfrac{1}{t}$.
$f(t) = \dfrac{\ln (t) - 2}{2t} = \dfrac{\ln (t)}{2t} - \dfrac{2}{2t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\ln (t)}{t} - \dfrac{1}{t}$.
%En déduire la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \dfrac{\ln (t)}{t} = 0$ et on a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \dfrac{1}{t} = 0$, donc par somme de limites, $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$.
\item %Calculer $f'(t)$ et montrer que $f'(t) = \dfrac{ 3 - \ln (t)}{2t^2}$.
$f$ est dérivable sur $[10~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(t) = \dfrac{\frac{1}{t}\times 2t - 2(\ln (t) - 2)}{(2t)^2} = \dfrac{2 - 2\ln (t) + 4}{4t^2} = \dfrac{6 - 2\ln (t)}{4t^2} = \dfrac{2(3 - \ln (t))}{4t^2} = \dfrac{3 - \ln (t)}{2t^2}$.
\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[10, + \infty[$ (et dresser le tableau de variations de $f$.
Sur $[10, + \infty[,~2t^2 > 0$, donc le signe de $f'(t)$ est celui de $3 - \ln (t)$.

$3 - \ln (t) > 0 \iff 3 > \ln (t) \iff \ln (t) < 3$ et par croissance de l'exponentielle $\text{e}^{\ln (t)} < \text{e}^3 \iff t < \text{e}^3$.

La fonction est croissante sur $\left[10~;~\text{e}^3\right[$.

De m\^eme on a $3 - \ln (t) < 0 \iff t > \text{e}^3$.

La fonction est décroissante sur $\left[\text{e}^3~;~10\right[$.

On a donc un maximum pour $t = \text{e}^3$ égal à $f\left(\text{e}^3 \right) = \dfrac{\ln \text{e}^3 - 2}{2\text{e}^3} = \dfrac{1}{2\text{e}^3}$.
%On fera figurer dans ce tableau les valeurs exactes de $f(10)$ et de $f\left(\text{e}^3\right)$.
D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$t$} \uput[u](2.2,2.5){$10$} \uput[u](5,2.5){$\text{e}^3$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} 
\rput(1,2.25){$f'(t)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(6.5,2.25){$-$}
\uput[u](2.4,0){$f(10)$}\uput[d](5,2){$\dfrac{1}{2\text{e}^3}$}\uput[u](7.8,0){$0$}\rput(1,1){$f(t)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B Application}

\medskip

%On se propose d'étudier la capacité pulmonaire de l'être humain en fonction de son âge $t,~t$ représentant l'âge en année et $g(t)$ la capacité pulmonaire en  litre.
%
%On admet que sur l'intervalle [10~;~60] on a $g(t) = 220f(t)$.

\begin{enumerate} 
\item %Donner l'expression de $g(t)$ sur [10~;~60].
Sur [10~;~60] $g(t) = 220f(t) = 220\left(\dfrac{\ln (t) - 2}{2t}\right) = \dfrac{110(\ln (t) - 2)}{t}$.
\item %En utilisant la \textbf{partie A}, préciser la capacité pulmonaire maximale et l'âge où elle est atteinte.
Le maximum de $f$ est obtenue pour $t = \text{e}^3$ ; donc la capacité pulmonaire maximale est égale à $g\left(\text{e}^3 \right) = \dfrac{110}{\text{e}^3} \approx 5,5$~(L). L'âge est égal à $\text{e}^3 \approx 20$~ans.
%Donner une valeur approchée de l'âge à un an près et une valeur exacte puis approchée à $10^{-1}$ près de cette capacité.
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ &10 	&15 	&20 	&25 	&30 	&40 	&50 	&60\\\hline
$g(t)$ &3,328 	&5,192 	&5,477 	&5,63 	&5,138 	&4,644 	&4,206 	&3,840  \\\hline 
\end{tabularx} \]

\item %Construire $(\mathcal{C})$ la  courbe représentative de $g$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (Unités graphiques 2~cm pour 10~ans sur l'axe des abscisses, 2~cm pour 1~litre sur l'axe des ordonnées).
Voir à la fin.

%\textbf{Pour les questions 5 et 6, faire apparaître sur le graphique les tracés utiles.}
\item %Déterminer graphiquement l'intervalle de temps durant lequel la capacité pulmonaire est supérieure ou égale à 5~litres.
On trace la droite d'équation $y = 5$ qui coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en deux points dont on trouve les abscisses en le projetant sur l'axe des abscisses. Voir la figure. On trouve que la capacité pulmonaire est supérieure ou égale à 5~litres sur l'intervalle [14~;~33].
\item %Déterminer graphiquement à quel âge la capacité pulmonaire a diminué de  $20\,\%$ par rapport à la capacité pulmonaire maximale.
Le maximum est égal à $g\left(\text{e}^3 \right)$, donc une diminution de 20\,\% ramène la capacité à $0,8 \times g\left(\text{e}^3 \right)   \approx 4,4$. On trace la droite d'équation d'équation $y = 4,4$ qui coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en deux points ; l'abscisse du second point (après le maximum) est à peu près égale à 45~ans.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.2cm,yunit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(60,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(60,6)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{10}{60}{x ln 2 sub 110 mul x div}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(60,\n)}
\uput[l](0,4.4){4,4}\uput[d](14,0){14}\uput[d](33,0){33}\uput[d](45,0){45}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,5)(33,5)(33,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(14,5)(14,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,4.4)(45,4.4)(45,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}