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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie--Génie biologique}\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2004~\decofourright\\
Biochimie - Génie biologique}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Des résultats expérimentaux}

\medskip

%On peut estimer l'âge de très vieux troncs d'arbres de deux façons :
%
%$\bullet~$  d'une part, en étudiant les anneaux de croissance ;
%
%$\bullet~$ d'autre part, en mesurant la radioactivité résiduelle du carbone 14.
%
%On a ainsi analysé d'anciens morceaux de séquoias et de pins par les deux
% méthodes.
%
%Voici le tableau des résultats obtenus : 
%
%$t$, est l'âge, en milliers d'années, donné par la méthode des anneaux de 
%croissance ;
%
% $A_i$ est la radioactivité résiduelle exprimée en unité de radioactivité.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_i$&0,5&1&2&3&4&5&6,3&7,8\\ \hline
%$A_i$&14,5&13,5&12&10,8&9,9&8,9&8&6,8\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item  %Recopier et complèter le tableau suivant où $\ln A_i$, est le logarithme  népérien de $A_i$. On arrondira les valeurs trouvées au centime le plus proche.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$				&0,5	&1	&2	&3	&4	&5	&6,3&7,8\\ \hline
$y_{i} = \ln A_{i}$	&2,67	&2,60	&2,48	&2,38	&2,29	&2,19	&2,08	&1,92\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Tracer le nuage de points $M_i\left(t_{i}~;~y_i\right)$

%On prendra	en abscisses : 1 cm pour 500~ans ; en ordonnées : 5 cm pour une unité.
Voir à la fin
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer une équation de la droite $D$ passant par le premier et le dernier point de ce nuage.
Si l'équation est de la forme $y = mt + p,~m = \dfrac{- 0,75}{7,3}\approx - 0,103,~p \approx 2,72$.

Une équation de $D$ est donc $y = -0,103t + 2,72$.
		\item %Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage.
$x_{G} = \dfrac{0,5 +1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6,3 + 7,8}{8} = \dfrac{29,6}{8} = 3,7$ et $y_{G} = \dfrac{18,59}{8} \approx 2,32$.

Donc $G(3,7~ ;~2,32)$.
		\item %Le point $G$ appartient-il  $D$ ?
On a $2,32 = -0,103 \times 3,7 + 2,72 \iff 2,32 = -0,37111 + 2,72 \iff 2,32 = 2,34889$ qui est une égalité fausse.

Donc $G$ n'appartient pas à $D$.
		\item %Placer $G$ et $D$ sur le dessin précédent.
Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\item %On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la méthode des anneaux de croissance) vieux de 5\,700 ans.

%Donner alors la radioactivité résiduelle qu'on lui trouverait en utilisant la droite $D$ précédente.

 	\begin{enumerate} 
		\item %graphiquement, en faisant apparaître sur le dessin les traits permettant la  lecture du résultat ;
Voir le graphique.
		\item %par le calcul, en prenant pour équation de $D : y = -0,1 t + 2,72$.
Avec $t = 5,7,~y = -0,1 \times 5,7 + 2,72 = 2,72 - 0,57 = 2,15$.

D onc $\ln A = 2,15 \iff A = \text{e}^{2,15} \approx 8,6$ unité de radioactivité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=4.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,3)
\psdots(0.5,2.67)(1,2.6)(2,2.48)(3,2.38)(4,2.29)(5,2.19)(6.3,2.08)(7.8,1.92)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](3.7,2.32)
\psline(0,2.72)(8,1.896)
\psline[linecolor=blue](0,2.72)(8,1.92)
\psline[linestyle=dashed](5.7,0)(5.7,2.15)(0,2.15)
\uput[d](8,0){$t$}\uput[r](0,3){$y = \ln A$}\uput[u](3.7,2.32){$G$}
\uput[d](0.1,2.7){$D$}\uput[d](5.7,-0.03){5,7}\uput[l](0,2.15){$\approx 2,15$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\textbf{Des résultats théoriques}

\vspace{0,4cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

%Les êtres vivants contiennent du carbone 14 radioactif (constamment 
%renouvelé) qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
%
% leur mort, ce carbone 14 n'est plus renouvelé ; il est désintégré à une vitesse  proportionnelle, à  tout instant, au carbone 14 encore présent dans l'organisme. On montre que le coefficient de proportionnalité est voisin de 0,123.
% 
%Ainsi, la radioactivité du carbone 14 présent dans un organisme
%à  l'instant $t$ après sa mort ($t$ exprimé en milliers d'années), 
% notée $f(t)$, vérifie les deux conditions :
%
%\[f'(t)=- 0,123f(t)\qquad 	\text{et} \qquad	f(0) = 15,3.\]

%Résoudre l'équation différentielle $y'= - 0,123 y$    et $y(0) = 15,3$.
On sait que les solutions de l'équation différentielle $y'= - 0,123 y$ sont de la forme : $y = A\text{e}^{-0,123t},~A \in \R$.

La solution qui vérifie $y(0) = 15,3$ vérifie $A\text{e}^{-0,123 \times 0} = 15,3 \iff A = 15,3\text{e}^{0,123}$ soit au dixième près pour $A$, $y = 15,3\text{e}^{-0,123t}$.
\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On étudie sur $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f$ définie par 

%\[f(t) = 15,3 \text{e}^{-0,123t}.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}-0,123t = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,123t} = 0$ et finalement $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$.
		\item %En déduire l'existence d'une asymptote (que l'on précisera) à  $\mathcal{C}$ courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
		Le dernier résultat montre que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Pour tout nombre $t$ positif, calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la dérivée de  $f$.
	On a $f'(t) = 15,3\text{e}^{-0,123t} \times (-0,123) = - \np{1,8819}\text{e}^{-0,123t}$.
		\item %étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
Comme $\text{e}^{-0,123t} > 0$ quel que soit $t$, on a $f'(t) < 0$ ce qui signifie que la fonction $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$ de $f(0) = 15,3$ à $0$.
\end{enumerate}

\item %Construire $\mathcal{C}$ en prenant :

%$\bullet~$ 2 cm pour 5 milliers d'années en abscisses,

%$\bullet~$ 1 cm pour 1 unité en ordonnées. 

%(On placera les points d'abscisses: 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 et 30).
Coordonnées des sept points de $\mathcal{C}$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&5&10&15&20&25&30\\ \hline
$y$&15,3&8,27&4,47&2,42&1,31&0,71&0,38\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
Voir à la fin.
\item %Placer sur le dessin précédent la tangente T  $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

On a $f'(0) = \np{- 1,8819}$ et $f(0) = 15,3$

Voir à la fin le tracé.
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

%On considère que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la radioactivité du carbone 14 dans un organisme après sa mort, en fonction de $t$ (en milliers d'années).

\begin{enumerate} 
\item %On trouve dans une grotte des débris d'os présentant une radioactivité égale à 10,2 unités. Estimer l'âge de ces débris à l'aide d'une lecture graphique.
On trace l'horizontale $y = 10,2$ qui rencontre $\mathcal{C}$ en un point dont l'abscisse est l'âge cherché. On lit $t \approx \np{3300}$~ans.
\item %Lorsque la radioactivité devient inférieure à $1\,\%$ de sa valeur initiale, le calcul de $f(t)$ est entaché de trop d'incertitude pour permettre de dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. Trouver à partir de quel âge, un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
$1\,\% = 0,01$, donc $f(t) < 0,01 \iff 15,3 \text{e}^{-0,123t} < 0,01 \iff 
\text{e}^{-0,123t} < \dfrac{0,01}{15,3}$ soit grâce à la croissance de la fonction ln, $-0,123t < \ln \left(\dfrac{0,01}{15,3} \right) \iff$

$ t >  \dfrac{1}{-0,123}\times \ln \left(\dfrac{0,01}{15,3}\right)$ soit $t > \np{59620}$~ans environ.

La méthode est inutilisable pour des organismes de plus de \np{59620}~ans
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(30,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=30]{->}(0,0)(30,16)
\multido{\n=0+2,\na=0+2}{16}{\uput[d](\n,0){\na}}
\psdots(0,15.3)(5,8.27)(10,4.47)(15,2.42)(20,1.31)(25,0.71)(30,0.38)
\psline(0,15.3)(5,5.8905)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{15.3 2.71828 0.123 x mul exp div}
\psline[linestyle=dashed](0,10.2)(3.3,10.2)(3.3,0)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}