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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique~\decofourright\\Métropole  juin 2005}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

%Une épidémie due au virus Ébola sévit dans une région composée de \np{125000} habitants. On estime que \np{18750} personnes sont contaminées par ce virus.
%
%Une stratégie de dépistage, à l'aide d'un test biologique est mise en place. On observe les résultats suivants :
%
%$\bullet~$	quand la personne est contaminée par le virus Ébola, le test est positif dans $99,6$\,\% des cas.
%
%$\bullet~$	quand la personne n'est pas contaminée par ce virus, le test est négatif dans $97,6$\,\% des cas.

\begin{enumerate}
\item ~%Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}\begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de personnes& Nombre de personnes&\\
\multicolumn{1}{c|}{}&contaminées & non contaminées& Total\\ \hline
Test positif 	&\np{18675}			&\np{2550} 		&\np{21225} \\ \hline
Test négatif 	&\np{75} 			& \np{103700}	& \np{103775}\\\hline
Total 			&\np{18750} 		&\np{106250} 	& \np{125000}\\\hline
\end{tabular}\end{center}

%Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à $10^{-4}$ près.

\item %On choisit an hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.

%On considère les évènements :
%
%A \og La personne est contaminée par le virus Ébola \fg{}
% 
%B \og  La personne a un test positif \fg.
  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
$p(\text{A}) = \dfrac{\np{18750}}{\np{125000}} = 0,15$ et $p(\text{B}) = \dfrac{\np{21225}}{\np{125000}} = \np{0,1698}$.
		\item %Écrire à l'aide d'une phrase l'évènement A~$\cap$~B et calculer sa probabilité.
A~$\cap$~B est l'évènement \og la	 personne est contaminée par le virus Ébola et a un test positif \fg.

$p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{\np{18675}}{\np{125000}} =\np{0,1494}$.
%Écrire à l'aide des évènements A et B l'évènement :  \og la personne est contaminée par le virus Ébola ou a un test positif \fg{} et calculer sa probabilité.
L'évènement :  \og la personne est contaminée par le virus Ébola ou a un test positif \fg{} s'écrit A~$\cup$~B.

On a $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{75 + \np{18675} + \np{2550}}{\np{125000}} = \dfrac{\np{21300}}{\np{125000}} = \np{0,1704}$.
		\item %Calculer la probabilité $p_{1}$ que la personne ait un test positif et ne soit pas contaminée par le virus  Ébola.
$p_{1} = \dfrac{\np{2550}}{\np{125000}} = \np{0,0204}$.
%Calculer la probabilité $p_{2}$ que la personne ait un test négatif et soit contaminée par le virils  Ébola.
$p_{2} = \dfrac{75}{\np{125000}} = 0,006$. 
%Calculer la probabilité $p_{3}$ que le test donne un résultat faux.
On a $p_{3} = p_{1}+ p_{2} = \np{0,021}$.
\end{enumerate} 
\item %On choisit maintenant au hasard une personne ayant un test négatif, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.

%Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée par le virus  Ébola ?
Sur les \np{103775} personnes ayant un test négatif, 75 sont contaminées, donc $p = \dfrac{75}{\np{103775}} \approx \np{0,0007}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :
%
%\[f(x) = \dfrac{3\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}.\]
%$\mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique $5$~cm).

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+ \infty[$.
Il faut étudier le signe de la dérivée. $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{3 \times 4\text{e}^{4x}\left(\text{e}^{4x} + 1 \right) - 4\text{e}^{4x}\left(3\text{e}^{4x} - 1 \right)}{\left(\text{e}^{4x} + 1 \right)^2} = \dfrac{12\text{e}^{8x} + 12\text{e}^{4x} - 12\text{e}^{8x} + 4\text{e}^{4x}}{\left(\text{e}^{4x} + 1 \right)^2} = \dfrac{16\text{e}^{4x}}{\left(\text{e}^{4x} + 1 \right)^2}$.

Tous les termes de ce quotient sont supérieur à zéro, donc $f'(x) > $ sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle la fonction est croissante.

D'o\`u le tableau de variation :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)\psline(0,1.5)(6,1.5)\psline(0,2)(6,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.1,2){$0$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$}
\rput(1,1.75){$f'(x)$} \rput(4,1.75){+} \rput(1,0.75){$f(x)$}
\psline{->}(2.4,0.4)(5.6,1.1)
\uput[u](2.2,0){1}\uput[d](5.8,1.5){3} 
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Calculer la limite de $f$ en $+ \infty ~\left(\text{on pourra montrer que}~ f(x) = \dfrac{3 - \text{e}^{-4x}}{1 + \text{e}^{-4x}}\right)$.
$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1} = \dfrac{\text{e}^{4x}\left(3 - \frac{1}{\text{e}^{4x}} \right)}{\text{e}^{4x}\left(1 + \frac{1}{\text{e}^{4x}} \right)} = \dfrac{3 - \text{e}^{-4x}}{1 + \text{e}^{-4x}}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 4x = - \infty$, on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-4x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$.
\item~ %Donner les valeurs approchées à $10^{-2}$	près de $f(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ :  0 ;  0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 ;  1,2 et 1,4.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&0,2&0,&0,6&0,8&1&1,2&1,4\\ \hline
$f(x)$&1&1,76&2,33&2,67&2,84&2,893&2,97&2,99\\ \hline
\end{tabularx}

\item %Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est égal au nombre dérivé $f'(0) = \dfrac{16}{(1 + 1)^2} = 4$.
\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et  sa tangente $T$.
Voir à la fin.
\item %Montrer que $f(x) = \dfrac{3\text{e}^{3x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}}$.

%On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

%\[ F(x) = \ln \left(\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}\right) + 1.\]

%Expliquer pourquoi $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1} = \dfrac{\text{e}^{x}\left(3\text{e}^{3x} - \frac{1}{\text{e}^{x}} \right)}{\text{e}^{x}\left(\text{e}^{3x}+ \frac{1}{\text{e}^{x}} \right)} = \dfrac{3\text{e}^{3x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}}$.

$F$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle, sachant que $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ :

$F'x) =  \dfrac{3\text{e}^{3x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}\right)} = f(x)$.

Donc puisque $F'x) = f(x)$ sur $[0~;~+ \infty[$, $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(2,4)
\uput[u](2,0){$x$}\uput[r](0,4){$y$}
\psplot{0}{0.75}{4 x mul 1 add}\uput[r](0.7,3.75){$T$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 4 x mul exp 3 mul 1 sub 2.71828 4 x mul exp 1 add div}\uput[u](1.25,3){$\mathcal{C}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
 