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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique \decofourright\\Métropole  juin 2005}} 
    
\vspace{0,8cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

Une épidémie due au virus Ébola sévit dans une région composée de \np{125000} habitants. On estime que \np{18750} personnes sont contaminées par ce virus.

Une stratégie de dépistage, à l'aide d'un test biologique est mise en place. On observe les résultats suivants :

$\bullet~$	quand la personne est contaminée par le virus Ébola, le test est positif dans $99,6$\,\% des cas.

$\bullet~$	quand la personne n'est pas contaminée parce virus, le test est négatif dans $97,6$\,\% des cas.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de personnes& Nombre de personnes&\\
\multicolumn{1}{c|}{}&contaminées & non contaminées& Total\\ \hline
Test positif && & \\ \hline
Test négatif & & & \\\hline
Total & & & 125\,000\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à $10^{-4}$ près.

\item On choisit an hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.

On considere les évènements :

A \og La personne est contaminée par le virus Ébola \fg{}
 
B \og  La personne a un test positif \fg{}.
  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
		\item Écrire à laide d'une phrase l'évènement A~$\cap$~B et calculer sa probabilité.

Écrire à l'aide des évènements A et B l'évènement :  \og la personne est contaminée par le virus Ébola ou a un test positif \fg{} et calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité $p_{1}$ que la personne ait un test positif et ne soit pas contaminée par le virus  Ébola.

Calculer la probabilité $p_{2}$ que la personne ait un test négatif et soit contaminée par le virils  Ébola.
 
Calculer la probabilité $p_{3}$ que le test donne un résultat faux.

	\end{enumerate}

\item on choisit maintenant au hasard une personne ayant un test négatif, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies.
Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée par le virus  Ébola ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ détinie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{3\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}.\]

$\mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique $5$~cm).

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty ~\left.(\text{on pourra montrer que}~ f(x) = \dfrac{3 - \text{e}^{-4x}}{1 + \text{e}^{-4x}}\right)$.
\item Donner les valeurs approchées à $10^{-2}$	près de $(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ :  0 ;  0,2 ; 0,4 ;
0,6 ; 0,8 ; 1 ;  1,2 et 1,4.
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et  sa tangente $T$.
\item Montrer que $f(x) = \dfrac{3\text{e}^{3x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}}$.

On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[ F(x) = \ln \left(\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}\right) + 1.\]

Expliquer pourquoi $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
\end{document}
 