\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie--Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL  Métropole~\decofourright\\septembre 2000 Biochimie -- Génie biologique }}

\vspace{0,25cm}

%\textbf{\emph{\footnotesize
%L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%On met en contact des bactéries avec un agent antimicrobien.
%
%Dans le tableau ci-dessous,
%
%$t_i$ désigne le temps (en minutes) d'exposition des bactéries à l'agent 
%antimicrobien,
%
%$y_i$ désigne le nombre de survivants sur $10^6$ bactéries.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ 			& 15	&20		&25	&30	&35	&40 &45 &50\\ \hline
$y_i$ 			&120 	&67		&49	&27	&20	&9	&7	&3\\ \hline
$z_i = \ln y_i$	&4,8 	&4,2 	&3,9&3,3&3 	&2,2&1,9&1,1 \\ \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate} 
\item %Recopier le tableau en complétant la dernière ligne $z = \ln y_i$.

%Donner les résultats arrondis à $10^{-1}$ près.
\item ~ %Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées $(t_i~; z_i)$ dans un repère orthogonal (\textsl{unités graphiques 2 cm pour 10 minutes en abscisse et 2 cm pour une unité en ordonnée}).

\medskip

\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(55,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5]{->}(0,0)(55,5)
\uput[d](55,0){$t_{i}$}\uput[l](0,5){$z_{i}$}
\psdots(15,4.8)(20,4.2)(25,3.9)(30,3.3)(35,3)(40,2.2)(45,1.9)(50,1.1)(22.5,3.8)(42.5,2.05)
\uput[dl](22.5,3.8){G$_{1}$} \uput[dl](42.5,2.05){G$_{2}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{10}{55}{5.76875 0.0875 x mul sub} 
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0.0+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(55,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ associé aux quatre premiers points du tableau, puis celles du point moyen G$_2$ associé aux quatre derniers points du tableau.
On trouve G$_{1}(17,5~;~3,8)$ et G$_{2}(42,5~;~2,05$.
		\item %Tracer la droite (G$_1$G$_2$).
Voir la figure.
		\item %Une équation de la droite (G$_1$G$_2$) est de la forme $z = a t + b$. Calculer les nombres réels $a$ et $b$.
On écrit que les coordonnées des deux points moyens vérifient l'équation de la droite  :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
3,8&=&22,5a + b\\
2,05&=&42,5a + b
\end{array}\right. \Rightarrow~(\text{par différence})~-1,75 = 20 a \iff  a = - \dfrac{1,75}{20} = - 0,0875$, d'o\`u $b = 3,8 - 22,5 \times (- 0,0875) = 5,76875$ soit en arrondissant au centi\`eme : $z = - 0,088t + 5,769$.

%On admet que cette droite réalise un bon ajustement du nuage de points.
	\end{enumerate}
\item %En utilisant l'ajustement précédent sur l'intervalle [15 ; 90],
	\begin{enumerate} 
		\item %calculer le nombre de survivants sur $10^6$ bactéries au bout de 90 minutes  d'exposition,
Pour $t = 90$, on obtient $z = -0,088 \times 90 + 5,769 = - 2,151$.

Or $z = \ln y = -2,151 \iff y = \text{e}^{-2,151} \approx 0,1$ soit $0$ survivants 
		\item %discuter le résultat obtenu.
On peut donc dire qu'au bout de une heure et demie, il n'y a a plus de bactéries.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction dérivable sur $\R$, définie par :
%
%\[f(x) =  (x - 4) \text{e}^{0,2x}.\]
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. (Unité graphique 1~cm).

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 4) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} 0,2x = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{0,2x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
On a $f(x) = x\text{e}^{0,2x} - 4\text{e}^{0,2x}$.

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 0,2x  = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{0,2x} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{0,2x} = 0$, donc finalement $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.

Graphiquement ceci signifie que l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.

%En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Étudier le signe de $f'(x)$.
La dérivée de $\text{e}^{0,2x}$ est $0,2\text{e}^{0,2x}$, d'o\`u :

$f'(x) = \text{e}^{0,2x} + 0,2(x - 4)\text{e}^{0,2x} = \text{e}^{0,2x}(0,2x - 0,8 + 1) = (0,2x + 0,2)\text{e}^{0,2x}$.

Comme $\text{e}^{0,2x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $0,2x + 0,2$.

$0,2x + 0,2 > 0 \iff 0,2x > -0,2 \iff x > -1$ : donc sur $]-1~;~+ \infty[,$

$f'(x) > 0$  : la fonction $f$ est croissante.

De m\^eme $0,2x + 0,2 < 0 \iff 0,2x < -0,2 \iff x < -1$ : donc sur 

$]-\infty~;~- 1 [,~f'(x) < 0$  : la fonction $f$ est décroissante.
		\item %En déduire le tableau de variations de $f$.
D'o\`u le tableau de variations de $f$ :
		
\medskip
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)	\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} 	\uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$-1$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$+$}\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](5,0){$- 5\text{e}$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
\uput[d](2.2,2){$0$} \uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

Avec $f(- 1) = (- 1 - 4)\text{e}^{1} = - 5\text{e}$.		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
		On a $f(x) = 0 \iff (x - 4) \text{e}^{0,2x} = 0 \iff x - 4 = 0~(\text{car}~\text{e}^{0,2x} \neq 0) \iff x = 4$. La courbe $\mathcal{C}$ coupe  l'axe des abscisses au point (4~;~0).
		\item %Donner l'équation de la tangente T en ce point.
Une équation de T est $y = f(4) + f'(4)(x - 4)$.

On sait que $f(4) = 0$ et $f'(4) = (0,2 \times 4 + 0,2)\text{e}^{0,2\times 4} = \text{e}^{0,8}$.

Une équation de T est donc $y = \text{e}^{0,8}(x - 4)$.
		\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente T.
Voir \`a la fin.
	\end{enumerate}
\item %À l'aide du graphique et en faisant apparaître les constructions 
%nécessaires, résoudre l'inéquation : $f(x) < -2$.
On trace la droite d'équation $y = - 2$ qui coupe la courbe $\mathcal{C}$ en deux points d'abscisse approximative $-9,6$ et 2,9.

L'équation $f(x) < -2$ a pour ensemble des solutions l'intervalle $]-9,6~ ;~2,9[$.
\item %Soit $F$ la fonction dérivable sur $\R$, définie par 

%\[F(x) = (5x - 45)\text{e}^{0,2x}.\] 

%Démontrer que $F$ est une primitive de $f$.
$F'(x) = 5\text{e}^{0,2x} + 0,2 \times (5x - 45)\text{e}^{0,2x} = \text{e}^{0,2x}(5 + x - 9) = (x - 4)\text{e}^{0,2x} = f(x)$.

$F'(x) = f(x)$, donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-10,-14)(5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-10,-14)(5,8)
\psplot{0}{5}{2.22554 x 4 sub mul}\uput[r](0,-8.8){T}
\uput[d](-5,-3.3){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.5pt](-10,-2)(6,-2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{5}{2.71828 0.2 x mul exp x 4 sub mul}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(2.874,-2)(2.874,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(-9.58,-2)(-9.58,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{)-(}(-9.58,0)(2.874,0)
\uput[u](-9.58,0){$-9,58$}\uput[u](2.87,0){$2,87$}
\psline[linewidth=1.5pt](-8,-2)(6,-2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}