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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie 10 juin 2005 \decofourright\\Biochimie--Génie biologique}} 
    
\vspace{0,8cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour
 une part importante dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en fonction du temps. On estime que le nombre de bactéries en milliards par ml est donné, à chaque instant $t$ (exprimé en heures) par la fonction $f$ définie sur [0 ; 24] par

\[f(x) = (3t + 1)\text{e}^{-0,15t}.\]

On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : $0,5$~cm pour une heure sur l'axe des abscisses et $2$~cm pour un milliard par ml sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est telle que $f'(t) =  (2,85 - 0,45t)\text{e}^{-0,15t}.$
		\item Étudier le signe de $f'(t)$. Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant (les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près).
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse 0.
		\item Tracer T et ($\mathcal{C}$) dans le repère donné.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique, et en faisant apparaître les constructions nécessaires, déterminer à une heure près les valeurs de $t$ pour lesquelles il y a 5~milliards de bactéries par ml.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

On étudie la croissance d'une population de crustacés planctoniques dans un environnement limité.

On note $x$ le nombre des individus de cette population à l'instant $t$ exprimé en jours. Les résultats obtenus sont dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en jours)	&0	&2	&4		&6		&8		&10		&12		&14\\ \hline
$x_{i}$ (effectif)	&15&59	&199	&448	&631	&697	&715	&719\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal \Oij{} représenter le nuage des huit points de coordonnées $\left(t_{i}~;~x_{i}\right)$. On prendra comme unités graphiques $1$~cm pour $1$~jour en abscisses et $1$~cm pour $50$~individus en ordonnées. Un ajustement affine de ce nuage parait-il justifié ?

\textbf{Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs seront arrondies à \boldmath$10^{-2}$ \unboldmath près.}

\item On pose $y = \ln \left(\dfrac{x}{720 - x}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ &0			&2	&4	&6	&8	&10&12	&14\\ \hline
$y_{i}$	&$-3,85$	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ des 4 premiers points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ du nuage. 

Calculer de même les coordonnées de $G_{2}$, point moyen des 4 derniers points du nuage. 
		\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$. On suppose que cette droite constitue un ajustement affine convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$.

\end{enumerate}

\item On admet, dans cette question, que $t$ et $y$ sont reliés par la relation 

\[y = 0,74t - 3,91.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer alors que $x = \dfrac{720}{1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91}}$ ce qui détermine $x$ comme fonction de $t$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Sur le graphique de la \textbf{question 1}, quel phénomène semble apparaître lorsque $t$ devient suffisamment grand ? 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  x(t)$. Ce résultat théorique est-il cohérent avec la réalité expérimentale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 