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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie 10 juin 2005~\decofourright\\ Biochimie--Génie biologique}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2
%
%La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

%On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en fonction du temps. On estime que le nombre de bactéries en milliards par ml est donné, à chaque instant $t$ (exprimé en heures) par la fonction $f$ définie sur [0~;~24] par
%
%\[ f(x) = (3t + 1)\text{e}^{-0,15t}.\]
%
%On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : $0,5$~cm pour une heure sur l'axe des abscisses et $2$~cm pour un milliard par ml sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est telle que $f'(t) =  (2,85 - 0,45t)\text{e}^{-0,15t}.$
$f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~24] et en appliquant la formule de la dérivée d'un produit :

$f'(t) = 3\text{e}^{-0,15t} - 0,15 (3t + 1)\text{e}^{-0,15t} = 3\text{e}^{-0,15t} - (0,45t + 0,15)\text{e}^{-0,15t} = \text{e}^{-0,15t}(3 b- 0,45t -0,15) = \text{e}^{-0,15t}(2,85 - 0,45t)$.
		\item %Étudier le signe de $f'(t)$. Dresser le tableau de variations de $f$.
		Comme $\text{e}^{-0,15t} > 0$ quel que soit le réel $t$, le signe de la dérivée est celui de la différence $2,85 - 0,45t$ ;
		
$2,85 - 0,45t > 0 \iff 2,85 > 0,45t \iff \dfrac{2,85}{0,45} > t \iff t < \dfrac{19}{3}$. Sur $\left[0~;~\dfrac{19}{3}\right],~f'(t) > 0$, donc la fonction est croissante ;

$2,85 - 0,45t < 0 \iff 2,85 < 0,45t \iff \dfrac{2,85}{0,45} < t \iff t > \dfrac{19}{3}$. Sur $\left[\dfrac{19}{3}~;~24\right],~f'(t) < 0$, donc la fonction est décroissante.

$f\left(\dfrac{19}{3} \right)$ est donc un maximum de $f$ sur [0~ ;~ 24].

$f\left(\dfrac{19}{3} \right) = \left(3 \times \frac{19}{3} + 1 \right)\text{e}^{-0,15 \times \frac{19}{3}} = 20\text{e}^{-0,95} \approx 7,73$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant (les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&2	&4	&6	&8	&10	&12	&16	&20	&24\tabularnewline\hline
$f(t)$	&1	&5,19	&7,13&7,72	&7,53	&6,92	&6,12	&4,45	&3,04	&1,99	\tabularnewline\hline
\end{tabularx}

\medskip		
		\item %Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse 0.
Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse 0 est le nombre dérivé $f'(0) = \text{e}^{-0,15\times 0}(2,85 - 0,45\times 0) = 2,85$.
		\item %Tracer T et ($\mathcal{C}$) dans le repère donné.
Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\item %À l'aide du graphique, et en faisant apparaître les constructions nécessaires, déterminer à une heure près les valeurs de $t$ pour lesquelles il y a 5 milliards de bactéries par ml.
On trace la droite d'équation $y = 5$ qui coupe la courbe ($\mathcal{C}$) en deux points dont on trouve l'abscisse en les projetant sur l'axe des abscisses.

On lit à peu près $x = 1,9$ et $x = 14,6$.

Il y a donc 5 milliards de bactéries par ml au bout de 2~h et de 15~h.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(24,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(24,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5,Dx=0.2,labels=none]{->}(0,0)(24,8)
\uput[d](24,0){$x$}\uput[l](0,8){$f(x)$}
\psplot{0}{2.4}{2.85 x mul 1 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{3 x mul 1 add 2.71828 0.15 x mul exp div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,5)(1.875,5)(1.875,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,5)(14.63,5)(14.63,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

%On étudie la croissance d'une population de crustacés planctoniques dans un environnement limité.
%
%On note $x$ le nombre des individus de cette population à l'instant $t$ exprimé en jours. Les résultats obtenus sont dans le tableau suivant :
%
%\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_{i}$ (en jours)	&0	&2	&4		&6		&8		&10		&12		&14\\ \hline
%$x_{i}$ (effectif)	&15&59	&199	&448	&631	&697	&715	&719\\ \hline
%\end{tabularx}\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Dans un repère orthogonal \Oij{} représenter le nuage des huit points de coordonnées $\left(t_{i}~;~x_{i}\right)$. On prendra comme unités graphiques $1$~cm pour $1$~jour en abscisses et $1$~cm pour $50$~individus en ordonnées. Un ajustement affine de ce nuage parait-il justifié ?

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-50)(14,800)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50]{->}(0,0)(14,800)
\uput[d](14,0){$t_{i}$}\uput[l](0,800){$x_{i}$}
\psdots(0,15)(2,59)(4,199)(6,448)(8,631)(10,697)(12,715)(14,719)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{720 2.71828 3.91 0.74 x mul sub exp 1 add div}
\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,800)}
\multido{\n=0+100}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

%\textbf{Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs seront arrondies à \boldmath$10^{-2}$ \unboldmath près.}

\item %On pose $y = \ln \left(\dfrac{x}{720 - x}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ &0			&2		&4		&6	 &8	  &10   &12	 &14\\ \hline
$y_{i}$	&$-3,85$	&$-2,42$&$-0,96$&0,50&1,96&3,41	&4,96&6,58 \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item %Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ des 4 premiers points
		
%$M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ du nuage. 
On trouve $G_{1}(3~;~- 1,68)$ et  $G_{2}(11~;~4,23)$
%Calculer de même les coordonnées de $G_{2}$, point moyen des 4 derniers points du nuage. 
		\item %Déterminer l'équation réduite de la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$. On suppose que cette droite constitue un ajustement affine convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$.
On écrit que les coordonnées de  $G_{1}$ et de  $G_{2}$ vérifient l'équation $y = ax + b$, soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
-1,6825&=&3a + b\\
4,2295&=&11a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $5,912 = 8a \iff a = \dfrac{5,91}{8} \approx 0,739$, puis $b = -1,68 - 3 \times 0,739 = - 1,68 - 2,217 = - 3,897$.

En arrondissant au centième, une équation de la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$ est $y = 0,74x -3,90
	\end{enumerate}
\item %On admet, dans cette question, que $t$ et $y$ sont reliés par la relation 

%\[y = 0,74t - 3,91.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer alors que $x = \dfrac{720}{1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91}}$ ce qui détermine $x$ comme fonction de $t$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		On a $y = 0,74t - 3,91 = \ln \left(\dfrac{x}{720 - x} \right) \iff  $ (par croissance de la fonction exponentielle $\text{e}^{0,74t - 3,91} = \text{e}^{\ln \left(\dfrac{x}{720 - x} \right)} \iff \dfrac{x}{720 - x} = \text{e}^{0,74t - 3,91} \iff x = \text{e}^{0,74t - 3,91}(720 - x) \iff x =  720\text{e}^{0,74t - 3,91} - x\text{e}^{0,74t - 3,91} \iff$
		
$x + x\text{e}^{0,74t - 3,91} = 720\text{e}^{0,74t - 3,91} \iff x\left(1 + \text{e}^{0,74t - 3,91}\right) = 720\text{e}^{0,74t - 3,91} \iff$

$ x = \dfrac{720\text{e}^{0,74t - 3,91}}{1 + \text{e}^{0,74t - 3,91}} = \dfrac{720\text{e}^{0,74t - 3,91}}{\text{e}^{0,74t - 3,91}\left(\text{e}^{-0,74t + 3,91} + 1}\right)} \iff x = \dfrac{720}{1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91}}$.
		\item %Sur le graphique de la \textbf{question 1}, quel phénomène semble apparaître lorsque $t$ devient suffisamment grand ? 
Sur le graphique de la \textbf{question 1}, il semble que pour $t$ assez grand, le nombre d'individus $x$ semble plafonner. 
		\item %Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  x(t)$. Ce résultat théorique est-il cohérent avec la réalité expérimentale ?
On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} -0,74t + 3,91 = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,74t + 3,91} = 0$,

puis \displaystyle\lim_{t \to + \infty}  1 + \text{e}^{-0,74t + 3,91} = 1$ et enfin \displaystyle\lim_{t \to + \infty} x(t) = 720$.

Ce résultat théorique est cohérent avec la réalité expérimentale.

On a dessiné sur la figure la courbe $x = f(t)$ qui \og colle \fg{} bien avec les résultats expérimentaux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 