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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie--Génie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{ juin 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie~\decofourright\\La Réunion juin 2003}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 }  \hfill 8 points}

\medskip

%On donne les hauteurs, en centimètres, d'une plante mesurée tous les trois jours à midi du 1\up{er} au 16 juillet : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%jour $x_{i}$&	1&	4&	7&	10&	13&	16\\ \hline
%hauteur $h_{i}$& 6,5& 8,4& 12& 15,4& 19,7& 	24,6\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %On pose $y_{i} = \ln h_{i}$.

%Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $10^{-2}$ prés : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
jour $x_{i}$		&1		&4&7	&10	&13 	&16\\ \hline
$y_{i} = \ln h_{i}$	&1,87 	&2,13 	&2,48&2,73	&2,98	&3,20\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item ~%Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ avec $y_{i} = \ln h_{i}$ en prenant comme unités : 1~cm sur l'axe des abscisses, 5~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=3.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,1)(16,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=1]{->}(0,1)(16,3.5)
\psdots(1,1.87)(4,2.13)(7,2.48)(10,2.73)(13,2.98)(16,3.2)
\psplot{0}{16}{0.09 x mul 1.8 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](4,2.16)(13,2.97)
\uput[u](4,2.16){G$_{1}$}\uput[d](13,2.97){G$_{2}$}
\uput[d](16,1){jour $x_{i}$}\uput[r](0,3.5){$y_{i} = \ln h_{i}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item %G$_{1}$ désigne le point moyen des trois premiers points du nuage et G$_{2}$ celui des trois derniers points.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées des points G$_{1}$ et G$_{2}$.
On trouve  G$_{1}(4~;~2,16)$ et G$_{2}(13~;~2,97)$.
		\item %Déterminer une équation de la droite D passant par les points G$_{1}$ et G$_{2}$.
On écrit que les coordonnées de G$_{1}(4~;~2,16)$ et de G$_{2}(14~;~2,97)$ vérifient l'équation $y = ax + b$ soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
2,16&=&4a + b\\
2,97&=&13a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence)  $0,81 = 9a \iff a = 0,09$, puis $b = 2,16 - 4a = 2,16 - 4 \times 0,09  = 2,16 - 0,36 = 1,8$.

Une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est $y = 0,09x + 1,8$.
		\item %Tracer D sur le graphique.
Voir plus haut. 
	\end{enumerate}
\item %On admet que cette droite constitue un bon ajustement du nuage.

%À partir de l'ajustement précédent, exprimer la hauteur $h$ de la plante en fonction du jour $x$ du mois de juillet et montrer que l'on peut écrire
%$h(x) = C\text{e}^{0,09x}$ avec $C  \approx 6,05$.
On a donc $y = \ln h = 0,09x + 1,8$ d'où par croissance de la fonction exponentielle $\text{e}^{\ln h } = \text{e}^{0,09x + 1,8} \iff h = \text{e}^{0,09x} \times \text{e}^{1,8} \iff h = 6,05\text{e}^{0,09x}$.
\item %On suppose que la croissance se poursuit ainsi tout le mois de juillet.
	\begin{enumerate}
		\item %À quelle date la plante mesurera-t-elle 40 cm ?
Il faut résoudre l'équation $6,05\text{e}^{0,09x} = 40 \iff \text{e}^{0,09x} = \dfrac{40}{6,05} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ 0,09x = \ln \left(\frac{40}{6,05} \right) \iff$
		
$x  = \frac{1}{0,09} \ln \left(\frac{40}{6,05} \right) \approx 20,98$ donc  à peu près au début du 21 juillet.
		\item %Quelle sera la hauteur atteinte le 31 juillet à midi ?
Il faut trouver $h$ telle que :

$h = 6,05\text{e}^{0,09 \times 31} = 6,05\text{e}^{2,79} \approx 98,50$~cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$  par :

%\[ f(x) = 0,004\text{e}^x - 0,5x, \]

%dont une représentation graphique est donnée ci-dessous.

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(-4,-2)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(8,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-4,-2)(8,4)
\uput[d](8,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$}\uput[u](4.828,0){$3\ln 5$}
\psline[linestyle=dashed](4.828,-1.914)(4.828,0)
\psline{<->}(3.828,-1.914)(5.828,-1.914)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0.01,0){$x_{1}$}\uput[ul](6.73,0){$x_{2}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{7.57}{2.71828 x exp 0.004 mul 0.5 x mul sub}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - 0,5x = + \infty$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %En écrivant que, pour $x$ différent de $0$, on a $f(x) = x\left(0,004\dfrac{\text{e}^x}{x} - 0,5\right)$, déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
Avec l'écriture fournie :
		
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}	\left(0,004\dfrac{\text{e}^x}{x} - 0,5\right) = + \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$, par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 0,004\text{e}^x - 0,5$.	
		\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $0,004\text{e}^x  - 0,5 = 0$ et montrer que la solution obtenue peut s'écrire $3 \ln 5$.
$0,004\text{e}^x  - 0,5 = 0 \iff 0,004\text{e}^x = 0,5 \iff \text{e}^x = \dfrac{0,5}{0,004} = 125$ d'où par croissance de la fonction logarithme népérien $x = \ln 125 = \ln \left(5^3 \right) = 3\ln 5$.	
		\item %Résoudre dans $\R$ l'inéquation $0,004\text{e}^x - 0,5 > 0$.
On obtient de la même fa\c{c}on : $0,004\text{e}^x - 0,5 > 0 \iff 0,004\text{e}^x > 0,5 \iff \text{e}^x > 125 \iff x > \ln 125 \iff x > 3\ln 5$.
L'ensemble solution est l'intervalle $]3\ln 5~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}	
\item %Donner le tableau de variations de $f$.
Le résultat précédent montre que sur $]3\ln 5~;~+ \infty[$, $f'(t) > 0$, donc la fonction est croissante.

On montrerait de la même fa\c{c}on que sur $]- \infty~;~3\ln 5[$, la fonction $f$ est décroissante.

Il y a donc un minimum en $x = 3\ln 5$ qui vaut $f(3\ln5) = 0,004\text{e}^{3\ln 5}  - 0,5 \times 3\ln 5 = 0,004 \times 125	- 1,5\ln 5 = 0,5 - 1,5\ln 5 \approx - 1,914$.

On a donc le tableau de variations suivant :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$}  \uput[u](2.5,2.5){$- \infty$}\uput[u](5,2.5){$3\ln 5$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$} \rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$+$} \rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5) \uput[d](2.4,2){$+ \infty$}\uput[d](7.5,2){$+ \infty$} \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5) \uput[u](5,0){\small $0,5 - 1,5\ln 5$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %On désigne par $x_{1}$ et $x_{2}$ les solutions de l'équation $f(x) = 0$, où $x_{1}$ désigne la plus petite et $x_{2}$ la plus grande. Par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item %donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $x_{1}$ et $x_{2}$ ;
On lit $x_{1}\approx 0$ et $x_{2} \approx 6,7$
		\item %déterminer le signe de $f(x)$.
On voit que sur $]x_{1}~;~x_{2}[,~f(x) < 0$ et $f(x) \geqslant 0$ ailleurs.
	\end{enumerate}
\item %À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution  $x_{2}$ de l'équation $f(x) = 0$.
On obtient grâce à la calculatrice :

$f(6,7) \approx - 0,1$ et $f(6,8) \approx 0,2$, donc $6,7 < x_{2}< 6,8$ ;

$f(6,73) \approx - 0,02$ et $f(6,74) \approx 0,01$, donc $6,73 < x_{2} < 6,74$.
\end{enumerate}
\end{document} 