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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie  Métropole juin 2003 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 8 points}

\medskip

Les 800 élèves d'un lycée possèdent une montre, soit du type M$_1$ soit du type 
M$_2$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Il y a $70\,\%$ de montres de type M$_1$. 
\item La  moitié des montres de type M$_1$ a un bracelet en cuir.
\item $16,25\,\%$ des montres de type M$_1$ ont un bracelet métallique.
\item Parmi les montres de type M$_2$, il y a trois fois plus de montres à
 bracelet en tissu que de montres à bracelet métallique
\item Il n'existe pas de montres de type M$_2$ avec un bracelet en cuir.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	& Cuir 	& Métal 	& Tissu 	& Total\\ \hline
M$_1$ 					& 		& 			& 			&  \\ \hline
M$_2$ 					& 		& 			& 			&  \\ \hline
Total 					& 		& 			& 			& 800 \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Parmi l'ensemble de toutes les montres quel est le pourcentage
 des montres de type M$_2$ à bracelet en tissu ?

Parmi les montres de type M$_2$, quel est le pourcentage de celles qui
 ont un bracelet métallique ?

\textbf{Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à} 
\boldmath  $10^{-3}$ \unboldmath  \textbf{près.}

\item On choisit un élève au hasard parmi les 800 élèves du lycée.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A \og la montre de l'élève a un bracelet métallique \fg{} ;

D \og la montre de l'élève est de type M$_2$ \fg{}.

\item Définir par une phrase les évènements A~$\cap$~B ET A~$\cup$~B
 puis calculer leur probabilité.

\item On choisit au hasard un élève ayant une montre de type 
M$_1$.

Quelle est la probabilité de l'évènement C \og la montre de l'élève 
a un bracelet en tissu \fg{} ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A :  Étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction définie sur l'intervalle $[10~;~+ \infty[$ par :

\[f(t) = \dfrac{\ln (t) - 2}{2t}.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(t)$ peut s'écrire sous la forme 
$f(t) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\ln (t)}{t} - \dfrac{1}{t}$.

En déduire la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.

\item Calculer $f'(t)$ et montrer que $f'(t) = \dfrac{ 3 - 
\ln (t)}{2t^2}$.

\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[10~;~+ \infty[$ (et dresser 
le tableau de variations de $f$.

On fera figurer dans ce tableau les valeurs exactes de $f(10)$ et 
de $f(\text{e}^3)$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B Application}

\medskip

On se propose d'étudier la capacité pulmonaire de l'être humain en fonction de son âge $t,~ t$ représentant l'âge en année et $g(t)$ la capacité pulmonaire en 
 litre.
On admet que sur l'intervalle [10~;~60] on a $g(t) = 220f(t)$.

\begin{enumerate} 
\item Donner l'expression de $g(t)$ sur [10 ; 60]
\item En utilisant la \textbf{partie A}, préciser la capacité 
pulmonaire maximale et l'âge où elle est atteinte.

Donner une valeur approchée de l'âge à un an près et une valeur exacte
 puis approchée à $10^{-1}$ près de cette capacité.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&10 	&15 	&20		&25		&30 	& 40 	& 50 	& 60\\\hline
$g(t)$ 	& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		&  \\\hline 
\end{tabularx} \]

\item Construire $(\mathcal{C})$ la  courbe représentative de $g$ dans
 le plan rapporté à un repère orthogonal (Unités graphiques 2~cm pour 10~ans sur
 l'axe des abscisses, 2~cm pour 1~litre sur l'axe des ordonnées).

\textbf{Pour les questions 5 et 6, faire apparaître sur le graphique 
les tracés utiles.}
\item Déterminer graphiquement l'intervalle de temps durant lequel la
 capacité pulmonaire est supérieure ou égale â 5 litres.
\item Déterminer graphiquement à quel âge la capacité pulmonaire a
 diminué de  $20\,\%$ par rapport à la capacité pulmonaire maximale.
\end{enumerate}
\end{document}