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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2005 \decofourright\\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique :

\[z^2 + 3z + 3 = 0.\]

\item On considère les nombres complexes : $z_{1}=  - \dfrac{3}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$	et $z_{2}  = \overline{z_{1}}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $z_{1}$ sous forme trigonométrique.

		\item Construire avec précision dans le repère \Ouv, les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.

On laissera apparents les traits de construction.

	\end{enumerate}

\item On appelle D le point d'affixe $z_{3} = \dfrac{7}{2}- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ et K le point d'affixe $z_{4} = 1$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle $\mathcal{C}$ de centre K.

		\item Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].

		\item Dans le repère \Ouv~ placer les points K et D et tracer le cercle $\mathcal{C}$.

Déterminer la nature du triangle ABD.

	\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.

Le jeu proposé est le suivant :

 On verse d'abord $10$~euros, puis on effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l'ordre les trois numéros obtenus. Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre $231$.

Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit $25$~euros. Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit $15$~euros. Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit $13$~euros. Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.

\begin{enumerate} 
\item	En s'aidant d'un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages possibles.

\begin{center}
\begin{pspicture}(5,5)
\psline(0,2)(2,0) \psline(0,2)(2,2) \psline(0,2)(2,4) 
\psline(2.3,4)(4.3,5)  \psline(2.3,4)(4.3,4)  \psline(2.3,4)(4.3,3)  
\rput(2.2,4){1} \rput(2.2,2){2} \rput(2.2,0){3}
\rput(4.5,5){1} \rput(4.5,4){2}  \rput(4.5,3){3}    
\end{pspicture} 
\end{center}

\item	On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque nombre à trois chiffres obtenu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire la différence : somme reçue moins le versement initial).

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ g(x) = \ln x  -	2x^2 - 1.\]

	\begin{enumerate} 
		\item	Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

Calculer $g'(x)$. Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ dans lequel on précisera la valeur exacte de l'extremum (aucune limite n'est demandée).
		\item	Déduire du \textbf{1.} que la fonction $g$ est négative sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1  - 2 -  \dfrac{\ln x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ (dans un repère orthonormal \Oij~ d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation	$y = 1 - 2x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Démontrer que  pour tout $x$  de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item En utilisant la \textbf{partie A} déduire le signe de $f'(x)$ sur I'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Calcul d'une aire}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]

\begin{enumerate} 
\item On désigne par$h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan comprise entre la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
		\item Calculer la valeur exacte du nombre réel $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}