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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STL  Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat
 série STL juin 2003~\decofourright\\Chimie de laboratoire et de procédés industriels }}

%\vspace{0,5cm}

%\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures} \hfill \textbf{Coefficient 4}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

%On appelle i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate} 
\item %Résoudre dans $\C$, l'équation :

%\[z^2 + 3z + 9 = 0.\]
$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 9 = 9 - 36 = - 27 = \left(3\text{i}\sqrt{3} \right)^3$.

$\Delta < 0$, donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{-3 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad \dfrac{-3 - 3\text{i}\sqrt{3}}{2}.\]
\item %On considère désormais les nombres complexes $z_1,~z_2$ et $z_3$ donnés par :

%\[z_1 = \sqrt{3} + \text{i} \quad ;\quad  z_2 = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad  ; \quad  z_3 = - z_1.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$.
On a $\left|z_{1}\right|^2 = \left(\sqrt{3} \right)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{1}\right| = 2$.

On a donc $z_{1} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)$.

Un argument de $z_{1}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.

$\left|z_{2}\right|^2 = \left(-\dfrac{3}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2  = \dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 = 3^2 \Rightarrow \left|z_{2}\right| = 3$.

On peut donc écrire :

$z_{2} = 3\left(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right)$.

Un argument de $z_{2}$ est donc $\dfrac{2\pi}{3}$.
		\item %On considère les points M$_1$, M$_2$ et M$_3$ images respectives des nombres complexes $z_1,~z_2$ et $z_3$. Montrer que O est le milieu de  [M$_1$M$_3$]. Construire en utilisant la question 2. a. les points M$_1$, M$_2$ et M$_3$.
Comme $z_3 = - z_1 \iff z_{3} + z_{1} = 0 \iff \dfrac{z_{3} + z_{1}}{2} = 0$ ceci montre que le milieu de [M$_1$M$_3$] est le point O.

M$_{1}$ se construit avec le cercle de centre O et la droite d'équation $y = 1$ ; M$_{2}$ se construit avec le cercle de centre O et de rayon 3 et la droite d'équation $x = -\dfrac{3}{2}$. Enfin M$_{3}$ est le symétrique de M$_{1}$ autour de O. Voir plus bas.
		\item %Démontrer que le triangle M$_1$M$_2$M$_3$ est isocèle.
On a $\text{M}_{2}\text{M}_{1}^2 = \left|z_{1} - z_{2}\right|^2 = \left|\sqrt{3} + \text{i} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2 = 3 + \dfrac{9}{4}  + 3\sqrt{3}  + 1 + \dfrac{27}{4} - 3\sqrt{3} = 10 $.

De m\^eme $\text{M}_{2}\text{M}_{3}^2 = \left|z_{3} - z_{2}\right|^2 = \left|-\sqrt{3} - \text{i} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2 = 3 + \dfrac{9}{4}  - 3\sqrt{3}  + 1 + \dfrac{27}{4} + 3\sqrt{3} = 10$.

On a donc M$_{2}$M$_{1}$ = M$_{2}$M$_{3}$ : le triangle est isocèle en M$_{2}$.
		\item %Soit $M_4$ le point du plan d'affixe $z_4$. Déterminer $z_4$ pour que le quadrilatère M$_1$M$_2$M$_3M_4$ soit un losange, puis construire $M_4$.
Si M$_1$M$_2$M$_3M_4$ est un losange ses diagonales ont le m\^eme milieu ; or le milieu de M$_{1}$M$_{3}$ est O, donc O est aussi le milieu de 
M$_{2}$M$_{4}$, c'est-\`a-dire que M$_{4}$ est le symétrique de M$_{2}$ autour de O. Il suffit de tracer le diamètre $\left[\text{M}_{2}\text{M}_{4} \right]$.

Conclusion $z_{4 } = - z_{2} = \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip

\psset{unit = 1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\pscircle(0,0){2} \pscircle(0,0){3}
\psline(0,1)(2,1) \psline(-1.5,0)(-1.5,3)
\psdots(1.732,1)(-1.5,2.598)(-1.732,-1)(1.5,-2.598)
\uput[ur](1.732,1){M$_{1}$}  \uput[ul](-1.5,2.598){M$_{2}$} \uput[dl](-1.732,-1){M$_{3}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1.5,-2.598){M$_{4}$}
\psline(-1.5,2.598)(1.5,-2.598)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%Un jeu de dominos est constitué de 28 dominos distincts. On rappelle qu'un domino est partagé en deux parties, chacune portant un nombre de 0 à 6 représenté par des points. Un double est un domino dont les deux parties portent le même nombre.
%
%Exemples de dominos :
%
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{center} \begin{pspicture}(15,3)
%\psframe(0,0)(4,2.5) \psframe(5.5,0)(9.5,2.5) \psframe(11,0)(15,2.5)
%\psline(2,0)(2,2.5) \psline(7.5,0)(7.5,2.5) \psline(13,0)(13,2.5) 
%\qdisk(0.5,0.5){3pt} \qdisk(1.5,0.5){3pt} \qdisk(0.5,2){3pt} 
%\qdisk(1.5,2){3pt}
%\qdisk(8,0.5){3pt} \qdisk(8,2){3pt} 
%\qdisk(9,0.5){3pt} \qdisk(9,2){3pt}
%\qdisk(11.5,1.25){3pt} 
%\qdisk(12.5,1.25){3pt} \qdisk(13.5,1.25){3pt} \qdisk(14.5,1.25){3pt} 
%\qdisk(3,1.25){3pt}  
%\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item %Écrire la liste des 28 dominos distincts.
(0,~0),~(0,~1),~(0,~2),~(0,~3),~(0,~4),~(0,~5),~(0,~6),

(1,~1),~(1,~2),~(1,~3),~(1,~4),~(1,~5),~(1,~6),

(2,~2),~(2,~3),~(2,~4),~(2,~5),~(2,~6),

(3,~3),~(3,~4),~(3,~5),~(3,~6),

(4,~4),~(4,~5),~(4,~6)

(5,~5),~(5,~6),

(6,~6).

\item %Un joueur tire un domino au hasard.
	\begin{enumerate} 
		\item %Quelle est la probabilité qu'il obtienne un double ?
Il y a sept doubles sur 28 dominos ; la probabilité est donc égale à$\dfrac{7}{28} = \dfrac{1}{4}$.
		\item %Quelle est la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des nombres situés sur les deux parties soit divisible par 3 ?(On rappelle que $0$ est divisible par tout entier non nul.)
Il faut tirer l'un des dominos suivants :
 
 (0,~0),~(0,~3),~(0,~6),~(1,~2),~(1,~5),~(2,~4),~(3,~3),~(3,~6),~(4,~5),~(6,~6).

La probabilité est donc égale à$\dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}$

		\item %Soit X la variable aléatoire qui à chaque domino tiré associe la différence entre le plus grand et le plus petit nombre.

%Par exemple, si le domino tiré porte le nombre 1 et le nombre 4, X prend la valeur $4 - 1 = 3$.

%Déterminer les valeurs prises par X, puis la loi de probabilité de X.
X $ \in \{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6\}$.
%En déduire l'espérance mathématique de X.
Le tableau de la loi est le suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X $ = x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&$\dfrac{7}{28}$&$\dfrac{6}{28}$&$\dfrac{5}{28}$&$\dfrac{4}{28}$&$\dfrac{3}{28}$&$\dfrac{2}{28}$&$\dfrac{1}{28}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

E $ = 0 \times \dfrac{7}{28} + 1 \times \dfrac{6}{28} + 2\times \dfrac{5}{28} + 3 \times \dfrac{4}{28} + 4 \times \dfrac{3}{28} + 5\times \dfrac{2}{28} + 6 \times \dfrac{1}{28} = \dfrac{0 + 6 + 10 + 12 + 12 + 10 + 6}{28} = \dfrac{56}{28} = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur $\R$, par :

%\[g(x) = 1 - 2x + \text{e}^{2x}.\]

\begin{enumerate} 
\item %Pour tout $x$ de $\R$, déterminer $g'(x)$. En déduire les variations de $g$ sur $\R$. (on ne demande pas les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition).
$g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = - 2 + 2\text{e}^{2x} = 2 \left(\text{e}^{2x} - 1 \right)$.

Le signe de $g'(x)$ est celui de la différence $\text{e}^{2x} - 1$ ; or :

$\text{e}^{2x} - 1 > 0 \iff \text{e}^{2x} > 1 \iff 2x > \ln 1$, par croissance de la fonction logarithme népérien et finalement $x > 0$.

La fonction est croissante sur $\R_{+}$.

De m\^eme $\text{e}^{2x} - 1 < 0 \iff \text{e}^{2x} < 1 \iff 2x < \ln 1$, par croissance de la fonction logarithme népérien et finalement $ x < 0$.

La fonction est décroissante sur $\R_{-}$.
\item %Démontrer que pour tout $x$ de $\R,~ g(x) > 0$.
D'après la question précédente $g(0)$ est le minimum de la fonction $g$ sur $\R$ ; or $g(0) =  1 - 0 + 1 = 2 > 0$.

Conclusion : sur $\R,~g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère maintenant la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

%\[f(x) =  x + 2 + x\text{e}^{-2x}.\]

%On appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans
%le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités
%graphiques 2~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée.

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-2x} = + \infty$, donc par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{-2x} = - \infty$ et finalement par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0$, et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$ donc par produit de limites

 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\text{e}^{-2x} = 0$.

Finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer pour tout $x$ de $\R,~ f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{\text{e}^{2x}}$.
$f$est dérivable sur $\R$ et $f'(x) = 1  + \text{e}^{-2x} + x \times (- 2)\text{e}^{-2x} = \text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x} + 1 - 2x \right) = \dfrac{1 - 2x + \text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x}} = \dfrac{g(x)}{\text{e}^{2x}}$.
		\item %En utilisant la \textbf{Partie A}, déterminer le tableau des variations de $f$.
Comme $\text{e}^{2x} > 0$,quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $g(x)$ ; or on a vu que celui-ci est positif sur $\R$. Conclusion : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.5,2){$- \infty$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$} \uput[u](4,2){$0$}\uput[u](2.5,0){$- \infty$}\uput[d](5.5,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$} \psline{->}(2.7,0.5)(5.3,1.5) \rput(4,1){2}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %En déduire que, pour tout $x$ de $[0~ ;~ + \infty[$ on a :$f (x) > 0$.
		Comme $f(0) = 0 + 2 + 0 = 2 > 0$ on en déduit que $f(x) > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que, la droite D d'équation $y = x + 2$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par : $d(x) = f(x) - (x + 2) = x\text{e}^{-2x}$.
		
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\text{e}^{-2x} = 0$, ce qui signifie que la droite D d'équation $y = x + 2$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item %Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et D.
		Il faut étudier le signe de $d(x) = x\text{e}^{-2x}$ qui a le signe de $x$ puisque $\text{e}^{-2x} > 0$, quel que soit le réel $x$
		
Conclusion :

- sur $]- \infty~;~0[$, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de D ;

- sur $]0~;~+ \infty[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de D.
	\end{enumerate}
\item %Tracer $\mathcal{C}$ et D.
Voir à la fin.
\item %Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

%\[F(x) =	\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-2x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
$F$ est dérivable sur $\R$ et 

$F'(x) = \dfrac{2x}{2} + 2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} - \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-2x}\times (- 2) = x + 2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + x\text{e}^{-2x} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} = x + 2  + x\text{e}^{-2x} = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item %Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan délimitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
On a vu que sur [0~ ;~1], la fonction $f$ est positive ; donc l'aire en unité d'aire de la partie du plan délimitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0}^1 = F(1) - F(0) =$

$ \dfrac{1^2}{2} + 2\times 1 - \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-2\times 1} - \left[\dfrac{0^2}{2} + 2\times 0 - \dfrac{1}{2}\left(0 + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-2\times 0} \right] = $

$\dfrac{1}{2} + 2  - \dfrac{3}{4}\text{e}^{-2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{4} - \dfrac{3}{4}\text{e}^{-2}$~(u. a.).

%Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis sa valeur arrondie à 0,1 près.
L'unité d'aire valant $2 \times 1 = 2$~cm$^2$, on a donc :

\[\mathcal{A} = 2\left(\dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4}\text{e}^{-2} \right) = \dfrac{11}{2} - \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2}~\text{cm}^2~~\approx 5,3~\text{cm}^2.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-6)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-6)(4,6)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,6){$y$}
\uput[u](-1,1){D}\uput[l](-0.9,-5){$\mathcal{C}$}
\psplot{-2}{4}{x 2 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.982}{4}{x 2 add  x 2.71828 x 2 mul exp div add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-2,-6)(4,6)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2 add  x 2.71828 x 2 mul exp div add}
\psline(1,0)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 