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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL  juin 2005~\decofourright\\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

%\vspace{0,8cm}
%
%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	%Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique :

%\[z^2 + 3z + 3 = 0.\]
$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 3 = 9 - 12 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2$.

$\Delta < 0$ : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{-3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad \dfrac{-3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}.\]
\item %On considère les nombres complexes : $z_{1}=  - \dfrac{3}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$	et $z_{2}  = \overline{z_{1}}$.

	\begin{enumerate} 
		\item %Écrire $z_{1}$ sous forme trigonométrique.
On a $\left|z_{1} \right|^2 = \left(- \dfrac{3}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 \Rightarrow \left|z_{1} \right| = \sqrt{3}$.

On peut donc écrire $z_{1} = \sqrt{3}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = \sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} \right)$. 
		\item %Construire avec précision dans le repère \Ouv, les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.
On peut construire la longueur $\sqrt{3}$ en utilisant un triangle rectangle d'hypoténuse 2 et dont l'un des côtés de l'angle droit mesure 1. On trace ensuite le cercle centré en O de rayon $\sqrt{3}$ et la droite d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$. Comme $z_{2}$ est le conjugué de $z_{1}$, B est le symétrique de A autour de l'axe des abscisses. Voir plus bas.
%On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate}
\item %On appelle D le point d'affixe $z_{3} = \dfrac{7}{2}- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ et K le point d'affixe $z_{4} = 1$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle $\mathcal{C}$ de centre K.
KA $ = \left|z_{1} - z_{4} \right| = \left|- \dfrac{3}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} - 1\right| = \left|- \dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}  \right| = \sqrt{\left(- \frac{5}{2} \right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{7}$.

Comme A et B sont symétriques autour de l'axe de des abscisses et que K appartient à cet axe, KB $ = \sqrt{7}$.

KD $ = \left|z_{3} - z_{4} \right| = \left|\dfrac{7}{2}- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} - 1\right| = \left| \dfrac{5}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}  \right| = \sqrt{\left(- \frac{5}{2} \right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{7}$.

Conclusion KA = KB = KD $ = \sqrt{7}$ : les trois points A, B et D appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre K et de rayon $\sqrt{7}$.
		\item %Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].
On a $\dfrac{1}{2}\left(z_{1} + z_{3} \right) = \dfrac{1}{2}\left(- \dfrac{3}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} + \dfrac{7}{2}- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = \dfrac{1}{2} \times 2 = 1 = z_{4}$.

Donc K est le milieu de [AD].
		\item %Dans le repère \Ouv{} placer les points K et D et tracer le cercle $\mathcal{C}$.

%Déterminer la nature du triangle ABD.
On a $z_{2} = \overline{z_{1}} = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ ; donc $z_{2}$ et $z_{3}$ ont la même partie imaginaire et la droite (BD) est parallèle à l'axe des abscisses ; comme la droite (AB) est perpendiculaire à l'axe des abscisses, (AB) et (AD) sont des droites perpendiculaires et le triangle ABD est rectangle en B.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(-1.5,0.866)(-1.5,-0.866)(3.5,-0.866)(1,0)
\uput[ul](-1.5,0.866){A}\uput[dl](-1.5,-0.866){B}\uput[dr](3.5,-0.866){D}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1,0){K}
\pspolygon(-1.5,0.866)(-1.5,-0.866)(3.5,-0.866)
\pscircle(0,0){1.732} \psline[linestyle=dashed](-1.5,-2)(-1.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psline(4,1)(5,1)\psarc(4,1){2cm}{50}{70}\psline[linecolor=blue](5,1)(5,2.732)\uput[d](4.5,1){1}\uput[r](5,1.866){$\sqrt{3}$}
\psline{->}(4,1)(5,2.732)\uput[l](4.5,1.866){2}
\pscircle(1,0){2.64575}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

%Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.
%
%Le jeu proposé est le suivant :
%
%On verse d'abord $10$~euros, puis on effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l'ordre les trois numéros obtenus. Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre $231$.
%
%Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit $25$~euros. Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit $15$~euros. Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit $13$~euros. Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.

\begin{enumerate} 
\item {} \medskip
%En s'aidant d'un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages possibles.

\begin{center}
%\begin{pspicture}(5,5)
%\psline(0,2)(2,0) \psline(0,2)(2,2) \psline(0,2)(2,4) 
%\psline(2.3,4)(4.3,5)  \psline(2.3,4)(4.3,4)  \psline(2.3,4)(4.3,3)  
%\rput(2.2,4){1} \rput(2.2,2){2} \rput(2.2,0){3}
%\rput(4.5,5){1} \rput(4.5,4){2}  \rput(4.5,3){3}    
%\end{pspicture}
\pstree[treemode=R,treesep=0.25cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{1}}
	{\pstree{\TR{1}}
	{\TR{1~~(1, 1, 1)}		
	\TR{2~~(1, 1, 2)}
	\TR{3~~(1, 1, 3)}
	}		
	\pstree{\TR{2}}
	{\TR{1~~(1, 2, 1)}		
	\TR{2~~(1, 2, 2)}
	\TR{3~~(1, 2, 3)}
	}
	\pstree{\TR{3}}
	{\TR{1~~(1, 3, 1)}		
	\TR{2~~(1, 3, 2)}
	\TR{3~~(1, 3, 3)}
	}
	}
\pstree{\TR{2}}
	{\pstree{\TR{1}}
	{\TR{1~~(2, 1, 1)}		
	\TR{2~~(2, 1, 2)}
	\TR{3~~(2, 1, 3)}
	}
	\pstree{\TR{2}}
	{\TR{1~~(2, 2, 1)}		
	\TR{2~~(2, 2, 2)}
	\TR{3~~(2, 2, 3)}
	}
	\pstree{\TR{3}}
	{\TR{1~~(2, 3, 1)}		
	\TR{2~~(2, 3, 2)}
	\TR{3~~(2, 3, 3)}
	}
	}
\pstree{\TR{3}}
	{\pstree{\TR{1}}
	{\TR{1~~(3, 1, 1)}		
	\TR{2~~(3, 1, 2)}
	\TR{3~~(3, 1, 3)}
	}
	\pstree{\TR{2}}
	{\TR{1~~(3, 2, 1)}		
	\TR{2~~(3, 2, 2)}
	\TR{3~~(3, 2, 3)}
	}
	\pstree{\TR{3}}
	{\TR{1~~(3, 3, 1)}		
	\TR{2~~(3, 3, 2)}
	\TR{3~~(3, 3, 3)}
	}
	}
}
 \end{center}

\item	%On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque nombre à trois chiffres obtenu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire la différence : somme reçue moins le versement initial).
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		$X \in \{- 10~;~3~;~5~;~15\}$
		\item %Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = x_{i}$&$- 10$&3&5&15\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{15}{27}$&$\dfrac{6}{27}$&$\dfrac{3}{27}$&$\dfrac{3}{27}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item %Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$.
E$(X) = - 10 \times \dfrac{15}{27} + 3 \times \dfrac{6}{27} + 5 \times \dfrac{3}{27} + 15 \times \dfrac{3}{27} = \dfrac{- 150 + 18 + 15 + 45}{27} = \dfrac{- 72}{27} = - \dfrac{8}{3} \approx -2,67$~\euro.

Sur un grand nombre de parties on perdra en moyenne 2,67~\euro par partie.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[ g(x) = \ln x  -	2x^2 - 1.\]

\begin{enumerate} 
\item %Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

%Calculer $g'(x)$. Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
La fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = \dfrac{1}{x} - 4x = \dfrac{1 - 4x^2}{x}$.

Comme $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du numérateur $1 - 4x^2 = (1 + 2x)(1 - 2x)$ trinôme qui est négatif sauf entre les racines $- \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.

Donc sur $\left]0~ ;~\dfrac{1}{2}\right[, g'(x) > 0$ : la fonction est croissante ;

sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[, g'(x) < 0$ : la fonction est décroissante.

En $x = \dfrac{1}{2}$, la fonction présente un extremum (maximum), $f\left(\frac{1}{2} \right) = \ln \frac{1}{2} - 2\left(\frac{1}{2} \right)^2  - 1 = - \ln 2 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - \ln 2$.

D'où le tableau de variations :
%Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ dans lequel on précisera la valeur	exacte de l'extremum (aucune limite n'est demandée).

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$\frac{1}{2}$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$g'(x)$}\rput(3.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$-$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.4)\psline{->}(5.5,1.4)(7.5,0.5)
\uput[d](5,2){$-\frac{3}{2} - \ln 2$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Déduire du \textbf{1.} que la fonction $g$ est négative sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Comme le maximum est à peu près égal à $- 2,2$, on peut en déduire que la fonction $g$ est négative sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

%\[f(x) = 1  - 2x -  \dfrac{\ln x}{x}.\]

%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ (dans un repère orthonormal \Oij~ d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2x = - \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation	$y = 1 - 2x$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $d(x) = f(x) - 1 - 2x) = - \dfrac{\ln x}{x}$.

On vient de voir que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc que $\displaystyle\lim_{x \to 0} d(x) = 0$, ce qui signifie que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote  à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
		\item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
La position dépend du signe de $d(x)$, donc de celui de $- \ln x$ car $x > 0$.

$d(x) > 0 \iff - \ln x > 0 \iff 0 > \ln x \iff 1 > x$ d'après la croissance de la fonction exponentielle.

Donc sur $]0~;~1[,~d(x) > 0$, c'est-à-dire que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de son asymptote $\mathcal{D}$.

On a de même  $d(x) < 0 \iff x > 1$, donc sur $]1~;~+ \infty[$, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de son asymptote $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

%Démontrer que  pour tout $x$  de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et :

$f'(x) = - 2 - \left(\dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1 \times \ln x}{x^2} \right) = - 2 - \left(\dfrac{1 - \ln x}{x^2}\right) = \dfrac{- 2x^2 - 1 + \ln x}{x^2} =$

$ \dfrac{\ln x - 2x^2 - 1}{x^2} =   \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item %En utilisant la \textbf{partie A} déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	On a vu à la partie A que sur $]0~;~+ \infty[,~g(x) < 0$ et comme $x^2 > 0$, on a donc sur cet intervalle $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$ de plus l'infini à moins l'infini.
	\end{enumerate}
\item %Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
Voir plus bas.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Calcul d'une aire}

%On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]

\begin{enumerate} 
\item %On désigne par $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

%Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$h$ est une fonction dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et :

$h'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times (\ln x) \times \dfrac{1}{x} \dfrac{\ln x}{x}$.

Donc $h$ est une primitive sur $]0~;~+ \infty[$ de $\dfrac{\ln x}{x}$.
\item %On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan comprise entre la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
		Voir en bas.
		\item %Calculer la valeur exacte du nombre réel $\mathcal{A}$.
On a vu que si $x > 1$, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de son asymptote $\mathcal{D}$ ; donc l'aire de la partie du plan comprise entre la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$ est égale à l'intégrale

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \left[(1 - 2x) - f(x)  \right] = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x} = [h(x)]_{1}^{\text{e}} = \dfrac{1}{2}(\ln \text{e})^2 - \left[\dfrac{1}{2}(\ln 1)^2  \right] = \dfrac{1}{2}$~(u. a.).

Comme 1 unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, on a finalement :

$\mathcal{A} = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-6)(5.75,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-6)(5.75,5)
\psline(0,1)(3.5,-6) \uput[r](0.3,4.5){$\mathcal{C}$}\uput[r](0.3,0.5){$\mathcal{D}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.28}{3.315}{1 2 x mul sub x ln x div sub}
\psline(2.71828,-5)(2.71828,5)\rput{-90}(2.9,-2.5){$x = \text{e}$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{1 2 x mul sub x ln x div sub}
\psline(2.71828,-4.43656)(1,-1)
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}