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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL  septembre 2000~\decofourright\\Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Une roue de loterie munie d'un index fixe est divisée en secteurs de mêmes dimensions et de différentes couleurs. Le jeu consiste à miser 20 francs, à faire tourner la roue et à noter la couleur du secteur désigné par l'index à l'arrêt de la roue.

%On admet que chaque secteur a la même probabilité d'apparaître. La roue 
%comporte :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item $n$ secteurs rouges qui font perdre la mise (gain du joueur : $-20$ F) ;
%\item 6 bleus où l'on reçoit 20 F (gain du joueur nul) ;
%\item 3 verts où l'on reçoit 80 F ;
%\item 1 jaune où l'on reçoit 120 F.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Soit X la variable aléatoire qui représente le gain du joueur.

\begin{enumerate} 
\item %\textbf{Dans cette question, la roue comporte 14 secteurs rouges}\boldmath ($n = 14$) \unboldmath
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la loi de probabilité de X.
Il y a donc en tout 24 secteurs. D'o\`u le tableau de la loi de probabilité de X suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X $ = x_{i}$&$- 20$&0&60&100\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&$\dfrac{14}{24}$&$\dfrac{6}{24}$&$\dfrac{3}{24}$&$\dfrac{1}{24}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.
		E(X) $ = - 20 \times \dfrac{14}{24} + 0 \times \dfrac{6}{24} + 60 \times \dfrac{3}{24} + 100 \times \dfrac{1}{24} = \dfrac{- 280 + 0 + 180 + 100}{24} = \dfrac{0}{24} = 0$~(F).
		
Ce montant soit environ 8,33~F représente le gain moyen par partie sur un grand nombre de parties jouées. On dit que le jeu est équitable.
		\item %Calculer l'écart-type de X au franc près.
Calcul de la moyenne  : $\overline{x} = \dfrac{ - 20 + 0 + 60 + 100}{4} = 35$.

D'o\`u $V(\text{X}) = (- 20 - 35)^2 + (0 - 35)^2 + (60 - 35)^2 + (100 - 35)^2  = \np{3025} + \np{1225} + 625 + \np{4225} = \np{9100}$.

Donc $\sigma(\text{X}) = \sqrt{\np{9100}} \approx 95$~F au franc près.
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, la roue comporte $n$ secteurs rouges et son propriétaire désire gagner en moyenne au moins $15\,\%$ des sommes misées.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que l'espérance mathématique de X doit être inférieure ou égale à $-3$.
On a $20 \times \dfrac{15}{100} = 3$~(F). Ce montant représente l'espérance mathématique minimale  de la variable aléatoire X que l'on désire réaliser.

		\item %Montrer que l'espérance mathématique de X est : $\dfrac{-20n + 280}{n+10}$.
Il y a donc $10 + n$ secteurs.
Le tableau de la loi devient : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X $ = x_{i}$&$- 20$&0&60&100\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&$\dfrac{n}{10 + n}$&$\dfrac{6}{10 + n}$&$\dfrac{3}{10 + n}$&$\dfrac{1}{10 + n}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On a donc E(X) $ = - 20 \times \dfrac{n}{24} + 0 \times \dfrac{6}{10 + n} + 60 \times \dfrac{3}{10 + n} + 100 \times \dfrac{1}{10 + n} = \dfrac{- 20n + 0 + 180 + 100}{10 + n} = \dfrac{280 - 20n}{10 + n}$~(F).
		\item %Déterminer le nombre minimum $n$ de secteurs rouges que doit comporter la roue.
		On veut donc que $\dfrac{280 - 20n}{10 + n} \geqslant 3 \iff 280 - 20n \geqslant 3(10 + n) \iff 280 - 20n \geqslant 30 + 30n \iff 250 \geqslant 50n \iff 5 \geqslant n  \iff n \leqslant 5$.
		
Il faut donc qu'il y ait au maximum 5 secteurs rouges.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

%\[z^2 - 4 z + 16 = 0.\]
On a $\Delta = 16 - 4 \times 16 = - 16 \times 3 = \left(4\text{i}\sqrt{3}\right)^2 < 0$.

L'équation a donc deux racines complexes conjuguées :

\[\dfrac{4 + 4\text{i}\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}~\text{et}~2 - 2\text{i}\sqrt{3}.\]
\item %Soit $P$ le polynôme défini par : 

%\[P(z) =  z^2 + \left(5 - \text{i}\sqrt{3}\right)z + 4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right).\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer $P(-4)$.
$P(-4) = 16 + \left(5 - \text{i}\sqrt{3}\right)\times (-4) + 4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right) = 16  - 20 +  4\text{i}\sqrt{3} + 4 - 4\text{i}\sqrt{3} = 0$.

$- 4)$ est donc une racine de $P$.
		\item %En déduire une factorisation de $P(z)$ sous la forme $(z + 4) (z + a)$ où $a$ est un nombre complexe à déterminer.
		On peut donc en déduire que $P(z)  = z^2 + \left(5 - \text{i}\sqrt{3}\right)z + 4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right) =$
		
$(z + 4) (z + a) = z^2 + (a + 4)z + 4a$.
		
Par identification des termes constants, on a $4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right) = 4 a \iff $

$a = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.

Donc $P(z) = (z + 4)\left(z +  1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
		\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :
 
%\[P(z) = 0.\]
On a donc $P(z) = 0 \iff (z + 4)\left(z +  1 - \text{i}\sqrt{3}\right) = 0 \iff  \left\{\begin{array}{l}z + 4 = 0\\
z +  1 - \text{i}\sqrt{3} = 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
z = - 4\\
z =  - 1 + \text{i}\sqrt{3}
\end{array}\right.$
	\end{enumerate}
\item %Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

%Soit les nombres complexes : 

%$z_{\text{A}} = 2 + 2 \text{i}\sqrt{3}$ d'image le point A,

%$z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ d'image le point B,

%$z_{\text{C}} = - 4$ d'image le point C.

	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres.
$\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 2^2 + \left(2\sqrt{3} \right)^2 = 4 + 12 = 16 = 4^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 4$.

On peut écrire $z_{\text{A}} = 4\left(\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i} \sin  \frac{\pi}{3}\right)$. Un argument de $z_{\text{A}}$ est $\dfrac{\pi}{3}.$

Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$, on a $\left|z_{\text{B}} \right| = 4$ et un argument de $z_{\text{B}}$ est $-\dfrac{\pi}{3}.$
		\item %Placer les trois points A, B et C.
A et B sont sur le cercle de centre O et de rayon 4 et sur la droite d'équation $x = 2$.

$z_{\text{C}}$ a pour module 4 et pour argument $\pi$.
		\item %Démontrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O.
		On vient de voir que $\left|z_{\text{A}} \right| = \left|z_{\text{B}} \right| = \left|z_{\text{C}} \right| = 4 \iff $ OA = OB = OC = 4, les trois points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.
		\item %Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 = \left| - 4\text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 48$.

CA$^2 = \left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}} \right|^2 = \left|2 + 2 \text{i}\sqrt{3} + 4 \right|^2 = \left|6 + 2 \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 36 + 12 = 48$.

Comme A et B sont symétriques autour de l'axe des abscisses et que C appartient \`a cet axe on a CA = CB d'o\`u CA$^2 = \text{CB}^2 = 48$.

On a donc AB$^2 = \text{CA}^2 = \text{CB}^2 = 48$ : le triangle ABC est équilatéral.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%\begin{center} \begin{pspicture}(-2,-5)(5,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-5)(5,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
%\uput[ul](0,0){O}
%\uput[d](5,0){$x$} \uput[r](0,5){$y$}
%\uput[dr](0,-3){A} \uput[d](-2,-2){D} \uput[l](-1,-4.5){$\Delta$}
%\uput[d](3,-2.4){$\mathcal{C}$}
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,-3)(0.5,-3)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7385}{5}{1 x 1 add 2 exp div 2 x 1 add div sub 2 sub}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
%\psline[linewidth=1.5pt](-1,-5)(-1,5)\psline[linewidth=1.5pt](-2,-2)(5,-2)
%\end{pspicture} \end{center}
%\vspace{0,5cm}
%
%Ci-dessus est tracée dans le repère orthonormal \Oij{} la représentation 
%graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ 
%dont la valeur minimale n'est atteinte que pour $x = 0$.
%
%On sait notamment que $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes D et 
%$\Delta$ qui sont représentées sur le graphique, qu'elle passe par le 
%point A de coordonnées $(0~;~-3)$ et qu'elle admet en A une tangente 
%horizontale.

%\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate} 
\item %En utilisant l'énoncé et le graphique, donner les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
Graphiquement on lit que $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = + \infty$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - 2$.

$f(0) = - 3$ et $f'(0) = 0$.
\item %La fonction $f$ est de la forme : 

%\[f(x) = a + \dfrac{b}{x + 1} + \dfrac{c}{(x + 1)^2},\]

%où $a,~b,$ et $c$ sont trois constantes réelles.
	
%Montrer que $f'(x) = \dfrac{- bx - b - 2c}{(x + 1)^3}$.
Puisque $x \neq -1$, la fonction est dérivable sur $]- 1~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle $f'(x) = - \dfrac{b}{(x + 1)^2} - \dfrac{2c(x+ 1)}{(x + 1)^4} = - \dfrac{b}{(x + 1)^2} - \dfrac{2c}{(x + 1)^3} = \dfrac{-b(x + 1) - 2c}{(x + 1)^3} = \dfrac{- bx - b - 2c}{(x + 1)^3}$.
\item %En utilisant les questions précédentes : 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que $a = - 2$.
D'après l'écriture donnée $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = a$, or on a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - 2$, donc $a = -2$.
		\item %Déterminer $b$ et $c$.
On sait que $\left\{\begin{array}{l}
f(0) = -3\\
f'(0) = 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
- 2 + b + c = -3\\
- b - 2c = 0
\end{array}\right.$ d'o\`u par somme des deux équations : $- 2 - c = - 3 \iff c = 1$. Comme $b = - 2c$, on en déduit finalement que $b = - 2$.

On a donc $f(x) = - 2 - \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%On admet que $f$ est définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par :
%
%\[f(x) = - 2  - \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II}

\begin{enumerate} 
\item %Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de 
%variations de $f$.
D'après la partie I, on a $f'(x) = \dfrac{2x  + 2  - 2}{(x + 1)^3} = \dfrac{2x}{(x + 1)^3}$.

Comme $x + 1 > 0,~(x + 1)^3 > 0$ : le signe de f'(x) est donc celui de $2x$, donc de $x$.

Sur $]- 1~;~0[,~f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante ;

Sur $]0~;~+ \infty[,~f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante.

D'o\`u le tableau de variations de $f$ suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$-1$}\uput[u](5,2.5){$0$}\uput[u](7.5,2.5){$+\infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](5,0){$- 3$}
\uput[d](2.5,2){$+ \infty$}\uput[d](7.8,2){$-2$}
\rput(3.5,2.25){-}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$,+$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\item %Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
Le point commun a une ordonnée nulle  ; il faut donc résoudre sur $]-1~;~+ \infty[$, l'équation  $- 2  - \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2} = 0 \iff \dfrac{-2(x + 1)^2 - 2(x + 1) + 1}{(x + 1)^2} = 0 \iff -2x^2 - 2 - 4x - 2x - 2 + 1 = 0 \iff 2x^2 + 6x + 3 = 0$.

Pour cette équation du second degré : $\Delta = 36 - 4 \times 2 \times 3 = 36 - 24 = 12 = \left(2\sqrt{3}\right)^2 > 0$, l'équation a deux solutions :

\[\dfrac{- 6 + 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3} - 3}{2}~~ \text{et}~~\dfrac{-\sqrt{3} - 3}{2}\]

Or $\dfrac{-\sqrt{3} - 3}{2} < - 1$, donc  $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse $\dfrac{\sqrt{3} - 3}{2}$.
\item %Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D d'équation $y = - 2$.
Soit $d$ la fonction définie par $d(x) = f(x) - ( - 2) = - \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2} = \dfrac{- 2(x + 1) + 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{- 2x - 1}{(x + 1)^2}$.

Comme $(x + 1)^2 > 0$, le signe de la différence de $d(x)$ est celui du numérateur $-2x - 1$.

$-2x - 1 > 0 \iff - 1 > 2x \iff x < - \dfrac{1}{2}$ : donc sur $\left]-1~;~-\dfrac{1}{2}\right[$ la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de (D) ;

De m\^eme sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de (D)ce que l'on contrôle sur la figure.
\item %Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D et les droites d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = 3$.
On a vu que sur $\left[- \dfrac{1}{2}~;~3\right],~f(x) - (-2) < 0$, donc $- 2 - f(x) > 0$ et l'aire en unité d'aire de la surface est égale \`a l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{- \frac{1}{2}}^3 [- 2 - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{- \frac{1}{2}}^3 [\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{1}{(x + 1)^2}]\:\text{d}x$.

Une primitive de $\dfrac{2}{x + 1}$ est $2 \ln (x + 1)$.

Une primitive de $\dfrac{1}{(x + 1)^2}$ est $- \dfrac{1}{x + 1}$.

Donc $\mathcal{A} = \left[2 \ln (x + 1) + \dfrac{1}{x + 1}  \right]_{- \frac{1}{2}}^3 = \left[2 \ln (3 + 1) + \dfrac{1}{3 + 1}  \right] - \left[2 \ln (- \frac{1}{2} + 1) + \dfrac{1}{- \frac{1}{2} + 1}  \right] = 2\ln 4 + \dfrac{1}{4} - 2\ln \left(\frac{1}{2}\right) - 2 = 4\ln 2 + \dfrac{1}{4} + 2\ln 2 - 2 = 6\ln 2 - \dfrac{7}{4} \approx 2,4$~(u. a.)

Résultat que l'on peut contrôler sur la figure.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](5,0){$x$} \uput[r](0,5){$y$}
\uput[dr](0,-3){A} \uput[d](-2,-2){D} \uput[l](-1,-4.5){$\Delta$}
\uput[d](3,-2.4){$\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,-3)(0.5,-3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7385}{5}{1 x 1 add 2 exp div 2 x 1 add div sub 2 sub}
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\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{3}{1 x 1 add 2 exp div 2 x 1 add div sub 2 sub}
\psline(3,-2)(-0.5,-2)}
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\psline[linewidth=1.5pt](-1,-5)(-1,5)\psline[linewidth=1.5pt](-2,-2)(5,-2)
\end{pspicture}
 \end{center}
\end{document}