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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STL  Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  Métropole septembre 2003~\decofourright \\Chimie de laboratoire}}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble$\C$ des nombres complexes, l'équation :

\[z^2  - 2 z\sqrt{3} + 4 = 0.\]

\item Le plan $\mathcal{P}$  est rapporté  à un repère orthonormé \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + \text{i},$

$z_{\text{B}} = \sqrt{3} - \text{i}$ et $z_{\text{C}} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les nombres complexes  $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme trigonométrique.
		\item Placer dans le plan $\mathcal{P}$ les points A, B et C.
		\item Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z = \dfrac{z_{\text{C}}^2}{z_{\text{B}}}$.
		\item Calculer $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|$. Donner une interprétation géométrique du résultat.
		\item Prouver que le triangle AOC est rectangle en O
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points} 

\medskip

Lors d'une séance de cinéma, on distribue au hasard un billet de loterie aux 250 spectateurs. Parmi les 250 billets distribués, 5 donnent droit à quatre places gratuites, 15 donnent droit à trois places gratuites, 30 donnent droit à deux places gratuites, 60 donnent droit à une place gratuite et les autres billets ne gagnent rien.
\begin{enumerate}
\item  On considère un spectateur qui a reçu un billet. Déterminer la probabilité des évènements :
\begin{enumerate}
\item A : \og le spectateur ne gagne rien \fg{} ;
\item B : \og le spectateur gagne au moins deux places gratuites \fg.
\end{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire désignant le nombre de places gratuites gagnées avec un billet.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, sous forme de tableau, la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og  $X \leqslant 2$ \fg. Calculer l'espérance E($X$).
		\item Combien faudrait-il de billets faisant gagner une place gratuite pour que $\text{E}(X) = 1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{A.}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[g(x)  = (x - 1)\text{e}^x + 1\]

dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.4,3){$-\infty$} \uput[u](5,3){$0$} \uput[u](7.6,3){$+ \infty$} 
\uput[u](1,2){$g'(x)$} \uput[u](3.5,2){$-$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$+$} 
\uput[u](1,0.8){$g(x)$} \uput[u](2.3,1.5){$1$} \uput[u](5,0){$0$} \uput[u](7.6,1.5){$+ \infty$} 
\psline{->}(2.7,1.7)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.3,1.7) 
\end{pspicture}
\end{center}

 En déduire :

\begin{enumerate}
\item l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de $g$ dont on donnera une équation.
\item le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x - 2)\text{e}^x  + x  - 1.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Unité graphique : 2~cm,

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item Prouver que $f'(x) = g(x)$. Déterminer le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Prouver que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$  est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $- \infty$. Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(1)$ et $f(2)$.
		\item À partir du 4. a. et du tableau de variations de la fonction $f$, justifier que l'équation $f(x) =  0$ admet dans l'intervalle [1~;~2]
une solution unique note $x_{0}$.
		\item  Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $x_{0}$ d'amplitude $10^{-2}$.	
	\end{enumerate}
\item  Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C.}

\begin{enumerate}
\item  On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur $\R$ par
 
\[h(x) =  (x -  2)\text{e}^x \quad \text{et}\quad  H(x) = (x - 3)\text{e}^x.\]
 
Montrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
 
\item On appelle $\mathcal{S}$ la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites  d'équations respectives $x = 1$ et $x  = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Colorier sur le graphique la partie $\mathcal{S}$.
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, en cm$^2$, de la partie $\mathcal{S}$. Calculer la valeur de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}