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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 17 juin 2011~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}}
    
\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Pour  tout nombre complexe $z$, on note $P(z)$ le nombre complexe défini par : 

\[P(z) = z^3 - 8z^2 + 24z - 24.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$. 
\item Déterminer des nombres réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait 

\[P(z) = (z - 2)\left(z^2 +az + b\right).\]
 
\item  Résoudre dans  l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

\[z^2  -6z + 12 = 0.\]
  
\item  En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation : 
\[P(z) = 0.\] 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On note A, B,  C les points du plan complexe d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\quad  ;\quad z_{\text{B}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{C}} =  3 - \text{i}\sqrt{3}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces trois points dans le repère \Ouv. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{B}}$.
		\item En déduite le module et un argument de $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.  
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Les points A, B, C appartiennent à un même cercle. Donner son centre et son rayon. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise produit et commercialise des articles destinés à l'industrie chimique.

Ces articles sont susceptibles de présenter au plus trois défauts.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui à tout article prélevé au hasard dans l'ensemble des articles produits, associe le nombre de défauts. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			& 0 	&1 		&2 		&3\\ \hline% 
$P(X = k)$	& 0,917 & $\cdots$&0,016	&0,005\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter ce tableau en déterminant la valeur de $P(X = 1)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
		\item Calcule l'écart type de $X$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

Le prix de vente d'un article est fixé à 350~\euro, son prix de fabrication est de 100~\euro.
 
Si l'article est défectueux, l'entreprise le répare avant sa mise sur le marché. Pour chaque défaut, le coût de réparation s'élève à 40~\euro.

Le bénéfice réalisé par l'entreprise sur la vente  d'un article est alors égal au prix de vente de l'article diminué du prix de fabrication et de montant d'éventuelles réparations.

\medskip
 
On note $Y$ la variable aléatoire qui à tout  article prélevé au hasard dans l'ensemble des articles produits, associe le bénéfice (en \euro) 
réalisé par l'entreprise lors de la vente de cet article. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer les quatre valeurs prises par la variable aléatoire $Y$. 
\item Dresser le tableau donnant la loi de  probabilité de $Y$. 
\item Déterminer l'espérance mathématique de $Y$. 
\item Donner une estimation du bénéfice que l'entreprise peut espérer faire sur la vente de \np{10000}~articles. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = 1 + x  - \text{e}^{2x}.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{Le graphique ci-contre est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice. 

\begin{enumerate}
\item Au vu de ce graphique, dresser un tableau de variations possible de $f$ sur $\R$. 
\item Conjecturer le signe de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.46\linewidth}{\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.15cm}\begin{pspicture}(-11,-10)(11,10)
\psframe(-11,-10)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none](0,0)(-11,-10)(11,10)
\psplot[plotpoints=50,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{1.248}{1 x add 2.71828 x 2 mul exp sub}
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} 

\medskip

\emph{Les variations et le signe de $f$ sur $\R$ sont-ils réellement ce qu'ils semblent être ? C'est à cette question que se propose de répondre la partie B.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on désigne par $f'$ la fonction dérivée  
de $f$. Déterminer l'expression de $f'(x)$. 
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1- 2\text{e}^{2x} \geqslant  0$.
 
En déduire le signe de $f'$ sur $\R$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x,\, f(x) = 1 + \text{e}^{x}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}} - \text{e}^{x}\right)$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dresser alors le tableau des variations de $f$ sur $\R$. Déterminer  la valeur exacte de son extremum. 
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[-0,8~;~0,7]$  une unique solution $\alpha$. 
		\item Préciser la valeur exacte de $f(0)$ et une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $f\left(- \dfrac{\ln 2}{2}\right)$. 
		\item Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$. 
	\end{enumerate}
\item Que peut-on dire de la conjecture envisagée à la fin de la partie A ? 
\item Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 4~cm. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
 
Construire la portion de $C$ correspondant à des abscisses $x$ comprises entre $-1,5$ et $0,5$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On note $P$ la partie du plan limitée par les droites d'équation $x = -\dfrac{1}{2}$ et $x = 0$ d'une part, l'axe des abscisses  et la courbe $C$ d'autre part.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer $P$ sur le graphique réalisé à la question B. 6. 
\item Démontrer que la fonction $F$ définie par $F(x) =  x + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$
est une  primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Démontrer que l'aire de $P$ est égale à $\dfrac{4 - \text{e}}{8\text{e}}$ unités d'aire.  
\end{enumerate} 
\end{document}