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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL   Métropole  juin 2000~ \decofourright\\
Biochimie--Génie biologique}}  

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Après la prise d'une boisson alcoolisée par une personne, on procède à l'étude de l'évolution de la quantité d'alcool présente dans son tube digestif} (\emph{exercice} I) \emph{puis dans les liquides du corps} (\emph{exercice} II).\emph{ Ces deux exercices peuvent être traités indépendamment l'un de l'autre.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice I} \hfill 5 points}

\medskip

À l'instant $t$, on note $u(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif avec $t$ exprimé en minutes et $u(t)$ en moles d'alcool. On a relevé les résultats  suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| c |*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en min)			&0	&1,5	&4,5	&9		&15		&18\\ \hline
$u_{i} = u(t_{i})$ (en mole)&1,2&0,94	&0,56	&0,26	&0,10	&0,06\\\hline
\end{tabularx} \end{center}

On pose $v_{i} = \ln (u_{i})$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter, avec des valeurs arrondies 
à $10^{-2}$ près, le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
$t_{i}$	&0	&1,5&4,5&9	&15	&18\\ \hline
$v_{i}$ & 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx} \]

\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~v_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées).

Que remarque-t-on ?
\item On désigne par G$_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage et par G$_{2}$ celui des trois derniers.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ et tracer 
la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.
		\item Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous 
la forme $v = mt + p$.
	\end{enumerate}
\emph{On admet que cette droite constitue un bon ajustement du nuage de points} $M_{i}$.
\item À partir de cet ajustement, déterminer la quantité d'alcool encore présente dans le tube digestif de cette personne à l'instant $t = 20$.
\item On admet désormais que la fonction $u$ est dérivable et vérifie
l'équation différentielle :

\[u'= - 0,17u \qquad \text{avec}\quad u(0) = 1,2.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ cette équation différentielle.
		\item Calculer $u(20)$ et comparer avec le résultat obtenu expérimentalement à la question \textbf{4.} précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice II} \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Après absorption, l'alcool se répartit dans les liquides du corps, en particulier dans le sang, où il est dégradé et évacué.}

À l'instant $t$, on note $q(t)$ la quantité d'alcool encore présente dans les liquides du corps avec $t$ exprimé en minutes et $q(t)$ en moles d'alcool.

On admet que sur l'intervalle [0~;~400], l'expression de 
$q(t)$ en fonction de $t$ est :

\[q(t) =  1,2 - 2,9 \cdot 10^{-3}t - 1,2\text{e}^{-0,17t}.\]

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $q(0) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $q'$ dérivée de $q$ vérifie

\[q'(t) = 0,204\text{e}^{-0,17t} -2,9 \cdot 10^{-3}.\]

		\item Montrer que l'équation $q'(t) = 0$ admet une unique 
solution $t_{0}$. Calculer une valeur approchée, au centième près, de 
$t_{0}$ et de $q(t_{0})$.
		\item Résoudre sur l'intervalle [0~;~400] l'inéquation $q'(t) 
\geqslant t_{0}$. En déduire les variations de la fonction $q$ sur cet intervalle et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $q$ (unités graphiques 1~cm pour 20~minutes sur l'axe des abscisses et 10~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).
\item Déterminer graphiquement l'instant $t$, à partir duquel la quantité
d'alcool redevient inférieure à 0,44~mole (cette quantité correspond pour cette personne à un taux d'alcoolémie de 0,5~g d'alcool par litre).
\end{enumerate}
\end{document}