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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2007~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On considère la suite arithmétique $\left(\theta_{n}\right)$, de raison $\dfrac{\pi}{2}$ et de premier terme 

$\theta_{0} = \dfrac{\pi}{4}$. 

Exprimer $\theta_{n+1}$, en fonction de $\theta_{n}$. 
\item  On considère la suite géométrique $\left(\rho_{n}\right)$ de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $\rho_{0} =  8$.
 
Exprimer $\rho_{n+1}$ en fonction de $\rho_{n}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).
 
On considère les nombres complexes $z_{0},~z_{1},~\cdots,~ z_{n}$ de modules respectifs $\rho_{0},~\rho_{1},~\cdots,~ \rho_{n}$, et d'arguments respectifs $\theta_{0},~\theta_{1},~\cdots,~ \theta_{n}$. 

On note alors $M_{0},~M_{1},~\cdots,~M_{n}$ les points d'affixes respectives $z_{0},~z_{1},~\cdots,~ z_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0&1& 2& 3 \\ \hline
$\rho_{n}$&8&&&\\ \hline
$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\theta_{n}$&$\dfrac{\pi}{4}$&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   En utilisant les résultats du tableau précédent, placer les points $M_{0},~M_{1},~M_{2}$ et $M_{3}$ sur la copie et tracer la ligne brisée $M_{0}M_{1}M_{2}M_{3}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E) :

\[ 4y' + 5y = 0\]

où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$. 
\item  On note $f$ la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer alors en utilisant la question 1. que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}.\]
 
		\item Calculer $f'(0)$. 
		\item Sur l'annexe 1  à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0.5~;~ 3]$. Construire, sur la figure de l'annexe 1 la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
	\end{enumerate}
\item On note $D$ le domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.

Le solide représenté ci-dessous est obtenu par rotation du domaine D autour de l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7)(7,7)
\psline{->}(-2,0)(7,0)\uput[d](7,0){$x$}
\psline{->}(0,-7)(0,7) \uput[l](0,7){$y$}
\defFunction{tromp}(u,v){u}{2.71828 5 neg 4 div u mul exp 2 mul v
sin mul}{2.71828 5 neg 4 div u mul exp 2 mul v
cos mul}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=0 2 0 360,function=tromp,linewidth=.5\pslinewidth,ngrid=25,RotZ=137]
\end{pspicture}
}
\hfill \parbox{0.5\linewidth}{
On note $V$ le volume, exprimé en unités de volume, de ce solide.

Calculer $V$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près). 

On rappelle que $V =  \pi\displaystyle\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x$. }

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{I.}  On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ g(x) = 2\dfrac{\ln x}{x} + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $g$ en $0$. 
		\item Calculer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 

Calculer $g'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$ 

$g'(x)  = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x^2}$.

\item Étudier le signe de $g'(x)$, suivant les valeurs du nombre réel $x$. 

Donner le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ (on indiquera la valeur exacte de $g(\text{e})$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer la valeur du nombre réel $x_{0}$ arrondie au dixième. 
		\item Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$, suivant les valeurs de $x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{II.}  On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = (\ln x)^2  + x. \]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. 

\medskip

Sur l'annexe 2,  à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle ]0~;~3]. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		
Interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[,$

$f'(x) = g(x)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$. 
		\item Calculer la valeur de $f\left(x_{0}\right)$ arrondie au dixième (on utilisera pour $x_{0}$ la valeur 0,7). 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
		\item Étudier la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Construire la droite $\mathcal{T}$ sur la figure de l'annexe 2. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{2cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(3,4) \uput[dr](0,0){O}
\uput[ur](0,2){A}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(3,4) 
\uput[l](-0.55,3.75){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1pt]{-0.553}{3}{2.71828 1.25 x mul neg exp 2 mul}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{2cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(3.2,4) \uput[dr](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(3,4) 
\uput[u](2.8,3.6){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0.14}{2.88}{x ln 2 exp  x add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}