\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\rhead{\small Physique de laboratoire et de procédés industriels}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2005 ~\decofourright\\
Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,15cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 


\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation.

\[z^2 - 2z\sqrt{3}+ 4 = 0.\]

Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
		\item Représenter dans le plan P les points A d'affixe $\sqrt{3} - \text{i}$ et B d'affixe $\sqrt{3} + \text{i}$.
		\item Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
	\end{enumerate}
\item	On considère l'application $R$ de P dans P qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$  telle que $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z$.
	\begin{enumerate} 
		\item Caractériser géométriquement l'application $R$.
		\item Placer le point A$'$ image du point A par $R$.
		\item Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique l'affixe du point A$'$.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle : 

\[y''  + 10^4 \pi^2y = 0.\]

où $y$ est une fonction de la variable $t$ et $y''$ sa derivée seconde,

\begin{enumerate} 
\item Résoudre cette équation différentielle.

\item Le plan est rapporté à un repére orthonormal \Oij.
 
Déterminer la fonction $f$ solution de cette équation différentielle telle que :

$\bullet~$	La courbe représentative  de $f$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1)

$\bullet~$	La tangente à cette courbe en A a pour coefficient directeur $- 100\pi$.

\item Vérifier que pour tout réel $t~:~f(t) = \sqrt{2}\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Déterminer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{50}\right]$.
\item Calculer la valeur efficace de la fonction $f$ sur cet intervalle, c'est-à-dire le nombre réel positif $I$ défini par :

\[I^2 = 50 \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{50}} [f(t)]^2 \,\text{d}t.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x) =  2 - \dfrac{x - 2}{5}\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item En déduire l'équation d'une droite $\mathcal{D}$ asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection A de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$  admet une solution $x_{0}$ sur [2~;~3]. 
		\item Donner un encadrement de $x_{0}$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Tracer sur un même graphique la droite $\mathcal{D}$ la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \dfrac{x - 3}{5} \text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $g'(x)$.

\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$.

\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item	Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$,l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
		\item Calculer l'aire de la partie hachurée.
Donner la valeur exacte en cm$^2$, puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}