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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2004~\decofourright\\
Physique de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

Ce sujet nécessite l'utilisation de deux feuilles de papier millimétré

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%L'iode 131 est un produit radioactif. Tout échantillon d'iode 131 a sa masse qui diminue régulièrement par désintégration.

\begin{enumerate} 
\item %Dans un premier livre de physique, on lit que la masse de tout 
%échantillon d'iode 131 diminue de $8,3\,\%$ chaque jour.

%On dispose d'un échantillon de masse initiale M$_0$ = 100 g.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer, arrondie au dixième, la masse M$_1$ de l'échantillon au bout d'une journée puis sa masse M$_2$ au bout de deux jours.
M$_1 = \text{M}_{0} \times (1 - 0,083) = 100 \times 0,917 = 91,7$~(g).

De m\^eme M$_2 = \text{M}_{1}\times 0,917 = 91,7 \times 0,917 \approx 84,1$ au dixième près.
		\item %On note $M_n$ la masse de l'échantillon au bout de $n$ jours. Démontrer que la suite $\left(M_n\right)$ est une suite géométrique.
On a de fa\c{c}on évidente $M_{n} = 0,917M_{n-1} = 0,917^2 M_{n-2} = \cdots =$

$0,917^n \times M_{0} = 100 \times 0,917^n$.

La suite $\left(M_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme 100 et de raison $0,9107$
		\item %Calculer la masse M$_{10}$ de l'échantillon au bout de 10 jours, arrondie au dixième.
M$_{10} = 100 \times 0,917^n  \approx 42,0$~g
	\end{enumerate}
\item %Dans un second livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d'iode 131 est une fonction du temps, $M : t \longmapsto M(t)$ qui est solution de  l'équation différentielle : 

%\[M'(t) = \lambda  \cdot M(t)\qquad (\text{E})\]

%où $t$ est le temps exprimé en jours et $\lambda$ une constante réelle.
	\begin{enumerate} 
		\item %Résoudre l'équation (E).
		On sait que les fonctions solutions sont de la forme $M(t) = C\text{e}^{\lambda t},~C \in \R$
		\item %Sachant que lorsque $t = 0$, la masse de l'échantillon est de 100 g, exprimer $M(t)$ en fonction de $t$ et de $\lambda$.
$M(0) = 100 \iff C\text{e}^{\lambda \times 0} = 100 \iff C = 100$.

On a donc $M(t)= 100\text{e}^{\lambda t}$.
		\item %Calculer $M(1)$ en fonction de $\lambda$. Pour quelle valeur de $\lambda$ a-t-on $M(1) = 91,7$ ? 
$M(1) = 100\text{e}^{\lambda}$.

$M(1) = 91,7 \iff 100\text{e}^{\lambda} = 91,7 \iff \text{e}^{\lambda} = 0,917 \iff \lambda = \ln 0,917$ (par croissance de la fonction ln) soit $\lambda \approx \np{-0,08665}$.
%On donnera une valeur approchée de $\lambda$ arrondie au dix-millième.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv~  (unite graphique : 1 cm).

%i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 
%$\dfrac{\pi}{2}$.

%À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan complexe, on fait correspondre le point  $M'$ d'affixe $z'$ tel que 

%\[z'= (1 + \text{i})z - 2\text{i}.\]

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer le nombre complexe $z$ tel que $z'= z$.
$z'= z \iff (1 + \text{i})z - 2\text{i} = z \iff \text{i} z = 2\text{i} \iff z = 2$.
\item %On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2$ et $z_{\text{B}} = - 1 + 3\text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$. Que peut-on dire du point A$'$ ?
On a $z_{\text{A}'} = 2$ car on a vu à la question précédente que le point A est invariant.

$z_{\text{B}'} =  (1 + \text{i})z_{\text{B}} - 2\text{i} =  (1 + \text{i})\times (- 1 + 3\text{i}) - 2\text{i} = - 1  - 3 + 3\text{i} - \text{i} - 2\text{i} = - 4$.
		\item %Placer les points A, B et B$'$ dans le repère \Ouv.
Voir figure à la fin.
		\item %Démontrer que le triangle ABB$'$ est un triangle rectangle et isocèle.
On a AB $= \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = |- 1 + 3\text{i} - 2 | = |- 3 + 3\text{i}| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$ ;

AB$' =  \left|z_{\text{B}'} - z_{\text{A}} \right| = |- 4  - 2 | = |-6| = 6$ ;

BB$' = \left|z_{\text{B}'} - z_{\text{B}} \right| = |- 4 + 1 - 3\text{i}  | = |- 3 + 3\text{i} | = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$.

D'une part $18 + 18 = 36 \iff \text{AB}^2 + \text{BB}'^2 = \text{AB}'^2$ qui montre d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle  ABB$'$ est un triangle rectangle en B.

D'autre part AB = BB$'$, donc le triangle  ABB$'$ est un triangle isocèle en B.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item %Vérifier l'égalité : $\left|z'\right|  = \sqrt{2} \times | z - (1 + \text{i})|$.
Avec $z = x + \text{i}y$, on obtient $z' = (1 + \text{i})(x + \text{i}y) -  2\text{i} = x - y + x + \text{i}(x + y - 2)$.

On a donc $\left|z'\right|^2 = (x - y)^2 + (x + y - 2)^2 =$

$x^2 + y^2 - 2xy  + x^2 + y^2 +  2xy - 4x - 4y + 4 = 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4$.

D'autre part $\left(\sqrt{2} \times |z - (1 + \text{i})| \right)^2 = 2|z - (1 + \text{i})|^2 = 2|x + \text{i}y - 1 - \text{i}|^2 =$

$ 2|(x - 1) + \text{i}(y + 1)|^2 = 2\left[(x - 1)^2 + (y - 1)^2\right] = 2\left(x^2 + y^2 - 2x + y^2 + 1  \right) =$

$2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4$.

On a donc les m\^emes carrés des modules, et par conséquent  

$\left|z'\right|  = \sqrt{2} \times | z - (1 + \text{i})|$. 
		\item %Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$.

%Interpréter géométriquement $|z|$ et $|z- (1 + \text{i})|$.
On sait que $|z| = \text{O}M$ et que $|z - (1 + \text{i})|$ = C$M$
		\item %Déduire des questions précédentes l'ensemble (D) des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z'|  = \sqrt{2} \times |z|$
%et tracer (D) dans le repère précédent.
On a d'après la question 3. a. $|z'|  = \sqrt{2} \times |z| \iff \sqrt{2} \times | z - (1 + \text{i})| = \sqrt{2}|z| \iff | z - (1 + \text{i})| =  |z| \iff \text{C}M = \text{O}M$ : autrement dit le point $M$ est équidistant de O et de C : il appartient à la médiatrice de [OC] qui est (D)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(2,0)(-1,3)(-4,0)(1,1)
\uput[ur](2,0){A} \uput[u](-1,3){B} \uput[ul](-4,0){B$'$}\uput[ur](1,1){C}
\psplot{-2}{4}{1 x sub}\uput[u](3,-2){(D)}
\pspolygon(2,0)(-1,3)(-4,0)
\psline(1,1)  
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{\text{e}^x - 1}\]

%On note  $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal
%(unités : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0,~x$ réel positif.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\text{e}^x - 1} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} 2x + 1 = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

Ceci montre que la droite d'équation $x = 0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
%En déduire que $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on précisera l'équation.
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x  = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\text{e}^x - 1} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x + 1 = + \infty,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
%Montrer que la droite D d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (2x+ 1) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\text{e}^x - 1} = 0$, ce qui montre que la droite D d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
%Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D.
La différence $d(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x - 1} $ est du signe du dénominateur $\text{e}^x - 1$.

Or $\text{e}^x - 1 > 0 \iff \text{e}^x > 1 \iff x > 0,~d(x) > 0$ : la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de D sur $]0~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer, pour tout $x$ réel strictement positif, le nombre dérivé $f'(x)$.
On a $f'(x) = 2 - \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2}$.
%Montrer que, pour tout $x$ réel strictement positif, 

%\[f'(x) = 2 \dfrac{\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)}{\left(\text{e} - 1\right)^2 }.\]
$f'(x) = 2\left(\text{e}^x - 1 \right)^2 - \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2} = \dfrac{2\text{e}^{2x} + 2 - 4\text{e}^x - \text{e}^x}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2} = \dfrac{2\text{e}^{2x} + 2 - 5\text{e}^x}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2}$.

Considérons le numérateur $N(x) = 2\text{e}^{2x} + 2 - 3\text{e}^x$ et posons $\text{e}^x = X$.

On a alors $N(x) = 2X^2 - 5X +2$ qui est un trin\^ome en $X$. 

On a $\Delta = 25  - 4\times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 =  3^2$.

L'équation $2X^2 - 5X +2 = 0$ a deux solutions $X_{1} = \text{e}^{x_{1}}  = \dfrac{5 + 3}{4} = 2$ et $\dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Le trin\^ome se factorise en $2X^2 - 5X + 2 = 2( X - 2)\left(X - \dfrac{1}{2} \right) = N(x) = 2\left(\text{e}^x - 2 \right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2} \right)$.

Finalement la dérivée s'écrit : $f'(x) = 2 \dfrac{\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)}{\left(\text{e} - 1\right)^2 }$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0, + \infty[$.
Le dénominateur de $f'(x)$ est supérieur à zéro : son signe est donc celui du numérateur : $\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)$.

On a $\text{e}^x - \dfrac{1}{2} > 0 \iff \text{e}^x > \dfrac{1}{2} \iff x > - \ln 2$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) et de m\^eme $\text{e}^x - \dfrac{1}{2} < 0 \iff \text{e}^x < \dfrac{1}{2} \iff x < - \ln 2$.

$\text{e}^x - 2  > 0 \iff \text{e}^x    > 2 \iff x > 2$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) et $\text{e}^x - 2  < 0 \iff \text{e}^x    < 2 \iff x < 2$.

On a donc le tableau suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,3.5)(8,3.5)
\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3.5){$x$}  \uput[u](2.1,3.5){$0$} \uput[u](5,3.5){$\ln 2$} \uput[u](7.5,3.5){$+ \infty$}
\rput(1,3.25){$\text{e}^x - \frac{1}{2}$} 
\rput(1,2.75){$\text{e}^x -2$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}  \rput(1,1){$f(x)$}
 \rput(3.5,3.25){$+$}\rput(6.5,3.25){$+$}\rput(3.5,2.75){$-$}\rput(6.5,2.75){$+$}\rput(5,2.75){$0$}
\rput(3.5,2.25){$-$} \rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$+$}
\psline{->}(2.4,1.6)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.6)
\uput[d](2.4,2){$+ \infty$} \uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](5,0){$2 + 2\ln 2$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

%En déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes.
Voir plus bas.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout $x > 0$,

%\[f(x) = ax + b + \dfrac{c\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}.\]
$f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{\text{e}^x - 1} = \dfrac{2x\text{e}^x - 2x + \text{e}^x - 1 + 1}{\text{e}^x - 1} = \dfrac{2x\text{e}^x - 2x + \text{e}^x}{\text{e}^x - 1} = \dfrac{2x\left(\text{e}^x - 1 \right) + \text{e}^x}{\text{e}^x - 1} = 2x + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$.

Par identification on a $a = 2,~b= 0$ et $c = 1$.
		\item %Hachurer la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.
Voir plus bas
%Déterminer l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
Le tableau de variations montre que $f$ est positive sur $]0~;~+ \infty[$ donc sur [1~;~3]. L'aire $\mathcal{A}$ en unité d'aire de la partie du plan hachurée est donc égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^3 \left(2x + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}\right)\:\text{d}x$.

Or $\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$, avec $u(x) = \text{e}^x - 1$ qui est positif pour $x > 0$.

Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln u(x) = \ln \left(\text{e}^x - 1 \right)$.

Donc $\mathcal{A} = \left[x^2  + \ln \left(\text{e}^x - 1 \right) \right]_{1}^3 = 3^2  + \ln \left(\text{e}^3 - 1 \right) - \left[1^2  + \ln \left(\text{e}^1 - 1 \right)\right] = 9 + \ln \left(\text{e}^3 - 1 \right) - 1 - \ln \left(\text{e} - 1 \right) = 8 + \ln \left(\text{e}^3 - 1 \right)  - \ln \left(\text{e} - 1 \right)$~(u. a.).

\emph{Rem.} On peut vérifier sur la figure que l'aire est environ égale à 10,4~u. a..
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-1)(6,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-1)(6,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[u](0.3,6){$\mathcal{C}$}\uput[d](0.5,2){(D)}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot{0}{6}{2 x mul 1 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.081}{6}{2 x mul 1 add 1 2.71828 x exp 1 sub div add}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{2 x mul 1 add 1 2.71828 x exp 1 sub div add}
\psline(3,0)(1,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(6,13)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}