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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2003~\decofourright\\Physique de laboratoire et de procédés industriels}}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Coefficient 4}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On tire au hasard une boule d'une urne contenant deux boules rouges notées 
R$_1$ et R$_2$, une boule verte notée V et deux boules bleues notées B$_1$ 
et B$_2$. On ne remet pas la boule tirée et on effectue un second tirage
 d'une boule.
 
On appelle \textbf{résultat} un couple dont le premier élément est
 la boule obtenue au premier tirage et le second, celle obtenue au second tirage, par exemple (R$_1$,~B$_2$). Tous les résultats sont équiprobables.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer à l'aide d'un tableau ou d'un arbre l'ensemble
 des résultats possibles.

\item On complète la situation précédente par une règle du jeu :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Pour chaque boule rouge tirée, on gagne 1 euro{} ;
\item[$\bullet~$]  Pour chaque boule verte tirée, on gagne 2 euro{} ;
\item[$\bullet~$] Pour chaque boule bleue tirée, on perd 2 euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note X la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain obtenu.
 (Une perte est considérée comme un gain négatif).

	\begin{enumerate} 
		\item	 Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X.
		\item Définir la loi de probabilité de X en remplissant un tableau.
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
 Que représente E(X) ? Le jeu est-il équitable ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv{} (unité graphique 2 cm).

Soit $P(z) =  z^3 - 4z^2 + 8z - 8$ où $z$ est une variable complexe.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer P(2).
		\item Trouver les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,

\[P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right).\]

		\item Résoudre alors l'équation $P(z) = 0$ dans l'ensemble $\C$ des
nombres complexes.
	\end{enumerate}
\item On considère les nombres complexes $z_1 =2,~z_2 = 
1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_3 =  1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le module et un argument de chacun de ces trois nombres complexes.
		\item Écrire le quotient $\dfrac{z_3}{z_2}$ sous la forme 
$r\text{e}^{\text{i}0}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et 
$\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$.

Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_3}{z_2}$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe rapporté au repère  \Ouv, on considère les points
 M$_1$, M$_2$ et M$_3$ d'affixes respectives $z_1,~z_2$ et $z_3$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que M$_1$, M$_2$ et M$_3$ appartiennent à un même cercle dont on  précisera le centre et le rayon. Placer ces points.
		\item Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme M$_2$ 
en M$_3$. Donner une mesure, en radian, de l'angle de cette rotation.
		\item Montrer que le triangle M$_1$M$_2$M$_3$ est isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels 
par :

\[f(x) = 1 + \left(\dfrac{x - 3}{8}\right)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à
 un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 2 cm.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend 
vers $+ \infty$.
		\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
En déduire une équation d'une droite $\mathcal{D}$ asymptote à la courbe
 $\mathcal{C}$.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection A de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Déterminer la position relative de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ le minimum de la fonction est-il atteint ?  Préciser ce minimum.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$, on a : $f(x)> 0$.
	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$
au point d'abscisse 0.
\item Tracer sur le même graphique, la droite $\mathcal{D}$, la tangente
 $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour deux réels $a$ et $b$, on considère la 
fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = \left(\dfrac{ax + b}{8}\right)\text{e}^x.\]	

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $g'(x) = 
\left(\dfrac{x - 3}{8}\right)\text{e}^x$.
		\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer sur le graphique, le domaine délimité par 
la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = - 2$.
		\item Calculer l'aire de la partie hachurée. Donner la valeur exacte en 
cm$^2$ puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ prés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}