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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalaur\'eat STL Biochimie - G\'enie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL La Réunion  juin 2007~\decofourright\\[4pt] Biochimie--Génie biologique}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Dans un lycée de \np{1280} élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, il y a une épidémie de grippe et 10\,\%
 des élèves contractent la maladie. De plus, 3\,\%
 des élèves vaccinés ont la grippe.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant, sans justifier les réponses :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}					&Nombre d'élèves vaccinés &Nombre d'élèves non vaccinés &TOTAL\\ \hline
Nombre d'élèves ayant eu la grippe		&						  &								& \\ \hline
Nombre d'élèves n'ayant pas eu la grippe&						  &								&\\ \hline
TOTAL									&						  &								&\np{1280}\\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

Pour les trois questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à $0,001$ près.
\item  On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants :

$A$ : \og L'élève a été vacciné \fg ;
 
$B$ : \og L'élève a eu la grippe \fg ;
  
$C$ : \og  L'élève a été vacciné et a eu la grippe \fg. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité des évènements $A$, $B$ et $C$. 
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $A \cup B$. 
\end{enumerate}
\item  On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement: \og L'élève a eu la grippe \fg. 
\item  On choisit au hasard un des élèves non vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement : \og L'élève a eu la grippe \fg. 
\item  Expliquer pourquoi on peut en déduire que ce vaccin a été efficace pour les élèves de ce lycée.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dès l'apparition des premiers symptômes de l'épidémie, l'infirmière du lycée relève pendant 8 jours le nombre d'élèves malades. Le tableau ci-dessous indique les résultats observés.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro du jour		&	1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
Nombre d'élèves grippés	&2	&5	&9	&14	&17	&23	&27	& 31\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé cette série statistique. On prendra les unités suivantes :
\begin{itemize}
\item  en abscisse : 2 cm pour 1 jour ;
\item  en ordonnée : 1 cm pour 2 élèves. 
 \end{itemize}
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique. 
\item On appelle G$_{1}$ le point moyen des quatre premiers points de ce nuage et G$_{2}$ le point moyen des quatre derniers points. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$. 
\item  Placer les points G$_{1}$ et  G$_{2}$ sur le graphique puis tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$). 
\item  Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous la forme $y =  mx + p$. On donnera les valeurs exactes de $m$ et de $p$.
\end{enumerate}
\item 	En utilisant l'équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$), estimer à partir de combien de jours au moins 5\,\%
 des élèves du lycée seront atteints par la grippe.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse, lors d'une expérience, à la croissance d'une population de bactéries dont le nombre triple toutes les heures. À l'instant $t = 0$, la population est de 10 germes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps (h)		&0	&1	&2	&6 	&9\\ \hline
Nombre de germes&10	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On appelle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[~] $u_{0}$ le nombre de germes à l'instant $t = 0$
\item[~] $u_{1}$ le nombre de germes à l'instant $t = 1$
\item[~] $u_{n}$ le nombre de germes à l'instant $t = n$.
 \end{itemize}
 \setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
		\item En déduire la nature de la suite de terme général $\left(u_{n}\right)$ et donner ses caractéristiques.
		\item Écrire $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer à partir de quelle heure la population de bactéries atteindra au moins un million de germes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(t) = 10\text{e}^{(\ln 3) t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Étudier le signe de $f'(t)$ puis en déduire le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&1	&2	&3	&4	& 5 \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Tracer dans un repère orthogonal \Oij{} la courbe représentative de la fonction $f$. On prendra pour unités graphiques :
		
\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item  2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses;
\item  1 cm pour 100 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans l'étude faite précédemment, la variation de la population bactérienne est modélisée par la solution $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle $y' =  (\ln 3) y$ qui vérifie la condition initiale $g(0) = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie B est égale à $g$.
\item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles, l'intervalle de temps pendant lequel la densité bactérienne est inférieure ou égale à 500.
\end{enumerate}
\end{document}