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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies  Antilles-Guyane 16 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}   

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la solubilité du dioxyde de carbone dans l'eau (en cm$^3$/ml d'eau) à la
pression de 1 bar, pour différentes valeurs de la température (en °C).

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{2.3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}p{0.75cm}|}}
\hline
Température $t_i$ &0 &10& 20& 30& 40 &50 &80\\\hline
Solubilité $y_i$& 1,8& 1,3& 0,88& 0,65& 0,52 &0,43& 0,29\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le nuage de points représentant cette série est donné par le graphique suivant :

\begin{center}

\psset{xunit=0.14cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.1)(80.2,2.3)
\multido{\n=0.0+10}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,2.1)}
\multido{\n=0+0.5}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](0,\n)(90,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(92,2.3)
\psdots[linecolor=red](0,1.8)(10,1.3)(20,0.88)(30,0.65)(40,0.52)(50,0.43)(80,0.29)
\uput[r](0,2.25){$y$}\uput[u](90.35,0){$t$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme de ce nuage conduit à envisager un ajustement exponentiel de la série $(t_i~;~y_i)$.

On pose $z_i= \ln \left(y_i\right)$.

Recopier \textbf{sur votre copie} et compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs de  $z_i$ à $10^{-3}$ près.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{2.3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}p{0.75cm}|}}
\hline
Température $t_i$ 			&0 	&10	&20	&30	&40 &50 &80\\\hline
$z_i =\ln \left(y_i\right)$ &	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}
\item  Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $t$ de la série $(t_i~;~z_i)$ par la méthode
des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $10^{-3}$.
\item  Dans la suite, on retient pour droite d'ajustement la droite d’équation $z = - 0,023t + 0,41$. Déduire
de cette équation que la relation entre la solubilité $y$ du dioxyde de carbone et la température $t$
peut se modéliser sous la forme  $y = A\text{e}^{-0,023t}$ où $A = 1,51$ à $10^{-2}$ près.
\item En supposant que l’ajustement précédent est valable pour toute valeur de $t$ comprise dans
l’intervalle [0~;~80], déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solubilité du dioxyde de
carbone dans l'eau à la température de 65\,°C.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(4 points)}

\medskip
Initialement, une population de bactéries compte \np{50000} individus. L’évolution du nombre de
bactéries, en fonction du temps, est étudiée dans un laboratoire où travaillent deux techniciens.

\smallskip
\textbf{PARTIE A :}
\smallskip

L’un des deux techniciens émet l’hypothèse que cette population augmente de 23\,\% toutes les
heures. On modélise l’évolution du nombre de bactéries par $\left(u_n \right)$   une suite de nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner la valeur de $u_0$. Calculer  $u_1$ et  $u_2$ (arrondir les valeurs à l’entier le plus proche).
\item 	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $u_{n+1}$  en fonction de  $u_n$.
		\item En déduire que $\left(u_n \right)$  est une suite géométrique de raison $1,23$.
		\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_n$  en fonction de $n$.
		\item Calculer $u_7$  à l’entier près. Que représente ce nombre ?
		\end{enumerate}
\item Au bout de combien d’heures, selon l’hypothèse émise par ce technicien, le nombre de
bactéries dépasse-t-il \np{500000} ?
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{PARTIE B :}

\smallskip
Le deuxième technicien du laboratoire émet une hypothèse un peu différente et considère que le
nombre de bactéries augmente de $p\,\%$ toutes les heures ($p \not= 23$). Pour déterminer au bout de
combien d’heures, selon son hypothèse, le nombre de bactéries dépasse \np{500 000}, il a réalisé
l’algorithme suivant. Cependant, une partie de l’algorithme a été effacée, et on ne dispose que des
premiers résultats affichés par celui-ci.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{0.5cm}p{5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}
\hline
&\centering Algorithme 									& Résultats de l’algorithme \\ 
\hline
& \textbf{Variables} : $N$ est un nombre entier & 							\\
&$p$ et $U$ sont des nombres réels				&							\\
&\textbf{Début :}								&	$N=0 \quad U= \np{50000}$\phantom{xxxx}\\
& Lire $p$										&							\\
& $N$ prend la valeur 0							&$N=1\quad U = \np{63500}$\phantom{xxxx}	\\
&$U$ prend la valeur \np{50000}						&							\\
& \textbf{Tant que } $U <$ \dots\dots				&							\\
& $N$ prend la valeur\dots\dots					&$N=2\quad U = \np{80645}$\phantom{xxxx}\\
& $U$ prend la valeur \dots\dots					&$N=3\quad U = \np{102673.15}$\\
& Afficher la valeur de $N$						&$\cdot$			\\
& Afficher la valeur de $U$						&$\cdot$			\\
& \textbf{Fin du tant que}						&$\cdot$			\\
& Afficher $N$									&$\cdot$			\\
& Afficher $U$									&$\cdot$			\\
& \textbf{Fin}									&$\cdot$			\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les premiers résultats affichés par l’algorithme, déterminer la valeur de $p$.
\item Sur votre copie, recopier l’algorithme figurant dans la colonne de gauche du tableau, et
compléter les parties manquantes (repérées par des pointillés).
\item Au bout de combien d’heures, selon cette hypothèse, le nombre de bactéries dépasse-t-il
\np{500000} ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(5 points)}

\medskip

\textbf{PARTIE A : RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE}

\medskip

Les fonctions intervenant dans cette partie sont définies et dérivables sur $[0~;~+\infty[$.

On considère l’équation différentielle (E) : 

\[y' + 0,6y = 45.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer une fonction constante solution de l’équation différentielle (E).
\item Résoudre l’équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) telle que $f(0) = 20$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : ÉTUDE D’UNE FONCTION}

\medskip 

Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie sur $[0~;+~\infty[$ par

\[f(t) = - 55\text{e}^{- 0,6 t} + 75.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative $(\mathcal{C})$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$.
		\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ sur une feuille de papier millimétré \textbf{à remettre avec la copie}.

Unités graphiques : \np[cm]{1} en abscisse ; \np[mm]{2}  en ordonnées.
	\end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul l’équation $f(t) = 70$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à l’unité).
\item Calculer $\displaystyle I = \int_0^4 f(t)\mathrm{d}t$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2})$.

Donner une interprétation graphique du résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C : UTILISATION DES RÉSULTATS}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative même infructueuse sera
prise en compte dans l’évaluation.}
\smallskip

Le principe de la haute pasteurisation consiste à chauffer dans un autoclave, pendant un laps de
temps de 15 secondes, les aliments à une température comprise entre 70~\degres C et 75~\degres C.

Du lait dont la température initiale est de 20~\degres C est introduit dans un autoclave dont la température est constante et égale à 75~\degres C.
La température du lait est donnée par la fonction $f$ définie dans la partie B, où $t$ est le temps en secondes.

Déterminer combien de temps, au total, le lait doit rester dans l’autoclave afin d’être pasteurisé.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill(5 points)}

\medskip

On étudie le taux de glycémie dans une population donnée, exprimé en g/L.

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On suppose que le taux de glycémie est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de
moyenne $\mu = 1$ et d’écart-type $\sigma = 0,03$. On mesure la glycémie chez une personne choisie au
hasard dans la population.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la probabilité pour que la glycémie de cette personne soit comprise entre 0,94 et
1,06 a pour valeur approchée 0,95.
\item En déduire qu’une valeur approchée de $P(X \leqslant 1,06)$ est $0,975$. Justifier votre raisonnement.
\item Sachant que $P(X \geqslant 0,97)$ a pour valeur approchée $0,84$, en déduire une valeur approchée à
$10^{-3}$ près de $P(0,97 \leqslant X \leqslant 1,06)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Un médecin, qui ne connaît pas l’hypothèse émise dans la PARTIE A, souhaite estimer la
proportion $p$ inconnue des personnes de cette population dont le taux de glycémie est supérieur à
$1,06$.
Il prélève au hasard un échantillon de \np{1000} personnes dans la population étudiée.

Il constate que 29 personnes ont un taux de glycémie supérieur à 1,06.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de 95\,\% de la proportion $p$.
\item Le résultat précédent est-il cohérent avec la réponse à la question \textbf{A 2.}  ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C :}

\medskip

On admet que, dans la population étudiée, la probabilité qu’une personne ait un taux de glycémie
supérieur à \np[g/L]{0,99}  est  $p_1 = 0,64$.

On tire un échantillon de 100 personnes au hasard. On suppose que la population est suffisamment
importante pour assimiler le choix de cet échantillon à un tirage avec remise de 100 personnes. On
appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes dont la glycémie est supérieure à
\np[g/L]{0,99}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\end{enumerate}
On suppose que les conditions permettant d’approximer une loi binomiale par une loi normale sont
remplies. On appelle $\mu'$ la moyenne et $\sigma'$ l’écart type de la loi normale $Z$ approximant la loi
binomiale $Y$ .
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que $\mu' = 64$ et $\sigma' = 4,8$.
\item Déterminer une valeur approchée de $P( Z \leqslant 78,4)$ à  $10^{-2}$ près. On remarquera que
$78,4 = \mu' + 3\sigma'$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill(3 points)}

\medskip

\textbf{QUESTIONNAIRE À CHOIX MULTIPLE}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse
rapporte un point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève pas de point.\\
Reporter sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 3\right)$, et soit $(C)$ sa représentation graphique dans un repère du plan. La tangente à la courbe $(C)$ au point A$(1~;~\ln(4))$ a pour coefficient
directeur :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $0,25$&\textbf{b.~~} $0,5$&\textbf{c.~~} $1$&\textbf{d.~~}  $\ln 4$
\end{tabularx}

\item On considère deux variables aléatoires $Y$ et $Z$.

$Y$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1~;~3]$.

$Z$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[0~;~2]$.
		\begin{description}
		\item[a.] $Y$ et $Z$ ont la même variance.
		\item[b.] $Y$ et $Z$ ont la même espérance.
		\item[c.] La variance de $Z$ est strictement inférieure à la variance de $Y$.
		\item[d.] La variance de $Z$ est nulle.
\end{description}

\item Une culture bactériologique comporte initialement \np{8 000} bactéries.

Leur nombre augmente de 20\,\% par heure.

Dans la copie de la feuille de tableur ci-dessous, quelle formule peut-on rentrer en B3, puis
recopier vers le bas, pour calculer le nombre de bactéries en fonction de l'heure ?

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
	&A				&B\\\hline
1	&Temps (heures)	&Nombre de bactéries\\\hline
2	&0				&\np{8 000}\\\hline
3	&1				& \\\hline
4	&2				& \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} = B2 + 0,20&\textbf{b.~~}= 0,8 * B2 &\textbf{c.~~}= 1,2 * B2  &\textbf{d.~~}  = 1,2 * \$B\$2.
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}