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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies Antilles-Guyane ~\decofourright\\[4pt]16 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\begin{center}
\emph{Les deux questions sont indépendantes}
\end{center}

Dans cet exercice, on s'intéresse à l'indice de masse corporelle (poids en kg divisé par le carré de la taille en m), noté IMC, de personnes adultes, âgées de 18 à 74 ans.

\smallskip

Une personne est considérée \og maigre \fg{} si son IMC est inférieur à 18,5.

Elle est considérée \og de poids normal \fg{} si son IMC est compris entre 18,5 et 25.

Elle est considérée \og en surpoids \fg{} si son IMC est compris entre 25 et 30.

Elle est considérée \og obèse\fg{} si son IMC est supérieur à 30.

\bigskip

\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à une personne adulte prise au hasard, associe son IMC.

Dans cette question, on suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $24,9$ et d'écart type $5,3$. On prend une personne au hasard dans la population.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que cette personne soit \og en surpoids \fg.
		\item Déterminer la probabilité que cette personne soit \og maigre \fg.
	\end{enumerate}
\item On suppose qu'en France, la proportion d'adultes obèses est de 15\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de personnes obèses dans un échantillon de taille $800$. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$.
		\item Dans le cadre d'un plan de prévention planifié par une région française, une agence de santé indépendante a réalisé une enquête au cours de laquelle a été mesuré l'IMC de $800$ personnes adultes habitant cette région. Parmi celles-ci, $148$ ont un IMC supérieur à $30$.
		
Peut-on considérer que la population de cette région comporte une proportion d'adultes
obèses conforme à la moyenne nationale ou, au contraire, qu'il y a lieu d'envisager des
actions de prévention contre l'obésité ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\begin{center}
\emph{QUESTIONNAIRE À CHOIX MULTIPLE}
\end{center}

\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}

\medskip

Donner sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée et une seule réponse est attendue par question.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On injecte à un patient une dose de $5$~mL d'une solution antibiotique, ce qui correspond à une dose de $5$~mg d'antibiotique. La quantité d'antibiotique présente dans le sang diminue chaque heure de 5,5\,\%.

Au bout de combien d'heures révolues la quantité de médicament restant dans le sang sera-t-
elle passée sous le seuil des 20\,\% de la quantité injectée au départ du traitement ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 9 &\textbf{b.~~} 28 &\textbf{c.~~} 57 &\textbf{d.~~} 29
\end{tabularx}
\medskip

\item Dans un échantillon de $136$ personnes prélevé dans la population d'une ville, on observe que $57$ d'entre elles portent des lunettes. On appelle $p$ la proportion des personnes portant des lunettes dans la population.

L'intervalle de confiance dont les bornes sont arrondies à $10^{-2}$, au niveau 95\,\%, pour la proportion $p$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [0,35~;~0,49] &\textbf{b.~~} [0,47~;~0,67] &\textbf{c.~~} [0,41~;~0,43]& \textbf{d.~~} [0,34~;~0,50]
\end{tabularx}
\medskip

\item Une variable aléatoire $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $3,5$.

La probabilité $P(0,4 \leqslant Y \leqslant  0,8)$, approchée à $0,001$ près, est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,186 &\textbf{b.~~} 0,650 &\textbf{c.~~} 0,734 &\textbf{d.~~} 0,286
\end{tabularx}
\medskip

\item On rappelle que la fonction ALEA() d'un tableur renvoie un nombre aléatoire compris
entre 0 et 1, et simule une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [0~;~1].

On souhaite simuler une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [-1~;~1].

Quelle formule faut-il écrire dans le tableur ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $= 2 \times \text{ALEA}() - 1$&
\textbf{b.~~} $= (\text{ALEA}() + 1) \div 2$&
\textbf{c.~~} $= 2 \times \text{ALEA}()$&
\textbf{d.~~} $= \ln(\text{ALEA}())$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}   

\medskip

On administre à un patient un médicament par voie intraveineuse. Ainsi la concentration du produit actif est quasi immédiatement maximale après l'injection, puis elle diminue de 3\,\% par minute.

\smallskip

On notera $C_0$ la concentration à l'instant $t = 0$ minute et $C_n$ la concentration en mg. L$^{-1}$ au bout de $n$ minutes.

On pose $C_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(C_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
\item Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\item En résolvant une inéquation, déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la concentration du produit actif aura diminué de moitié.
\item On considère le premier algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :} 	&$K$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation:}&$K$ prend la valeur 1\\
						&\\
\textbf{Traitement:} 	&Répéter 5 fois\\
						& \hspace{1cm}$K$ prend la valeur $0,97*K$\\
\textbf{Sortie:} 		&Afficher $K$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur $K$ affichée à l'issue de l'exécution de cet algorithme ? On arrondira à \np{0,0001}.
		\item Quelle interprétation peut-on donner de cette valeur de $K$ en terme de concentration du médicament ?
	\end{enumerate}
\item On considère maintenant l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables:}			&$i$ est un entier naturel, $K$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation:} 	&$K$ prend la valeur 1\\
							&$i$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement:} 		&Tant que $K > 0,5$\\
							&\hspace{1cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\
							&\hspace{1cm}$K$ prend la valeur $0,97*K$\\
\textbf{Sortie:} &			Afficher $i$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi cet algorithme exécutera plus de 5 itérations de la boucle \og Tant que \fg.
		\item Quel résultat l'exécution de cet algorithme permet-elle de retrouver ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}   

\medskip

\textbf{PARTIE A - ÉTUDE STATISTIQUE}

\medskip

Les immunoglobulines G, notées IgG, sont des anticorps qui interviennent dans l'élimination
d'antigènes. On étudie la concentration d'IgG dans le sang d'un patient au fil des semaines lors du contact avec un antigène. 

On a recueilli les informations consignées dans le tableau suivant, où $t_i$
est le temps en semaines écoulées après ce contact et $y_i$ le taux d'immunoglobulines G en g. L$^{-1}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en semaines 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
Taux $y_i$ d'IgG en g.L$^{-1}$	&13,4 	&14,7 	&13,9 	&12,8 	&11,7 	&10,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On pose $z = \ln \left(\dfrac{y}{t}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier sur vote copie et compléter le tableau suivant, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$										&1 		&2 	&3 	&4 	&5 		&6\\ \hline
$z_i = \ln \left(\dfrac{y_i}{t_i}\right)$	&2,60 	&	&	&	&0,85	&\rule[-3.5mm]{0mm}{9mm} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$ près.
\item Déterminer un ajustement de $y$ en fonction de $t$ de la forme $y = a t \text{e}^{b t}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. On arrondira les $a$ et $b$ au dixième.
\item Estimer le taux d'IgG à la 8\up{e} semaine à l'aide de l'expression de la question 3. Arrondir à $10^{-1}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B - ÉTUDE D'UNE FONCTION}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 17,3 t \text{e}^{- 0,4 t}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item On note $f'$ la dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Montrer que pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = (17,3 - 6,92 t)\text{e}^{- 0,4 t}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
		
		\[F(t) = (-108,125 - 43,25 t)\text{e}^{- 0,4 t}.\]
		
Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  La valeur moyenne de $f$ sur $[a~;~b]$ est donnée par la formule : $V_m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t$.
	
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [1~;~5]. On donnera la valeur approchée
arrondie à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C - INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS DE LA PARTIE B}

\medskip

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de la fonction $f$ représentée dans le repère ci-dessous. ($f$ est la fonction définie dans la partie B)

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=6](0,0)(20,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(20,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(20,20)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{17.3 x mul 2.71828 0.4 x mul exp div}
\uput[u](14,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On suppose que $f(t)$ représente le taux d'IgG en g.L$^{-1}$ en fonction du temps $t$ en semaines (écoulées après contact avec l'antigène), où la fonction $f$ est celle de la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le taux maximal d'IgG du patient ? Quand ce taux est-il atteint ?
\item Le test sérologique d'IgG est positif lorsque le taux d'IgG dépasse 13~g.L$^{-1}$. 

Déterminer, à l'aide du graphique, sur quelle période une analyse de sang donnerait ce test positif.
\item Sachant que le taux d'immunoglobuline est inférieur à $12$~g.L$^{-1}$ en moyenne chez un adulte sain, suivant ce modèle, durant quelles périodes le sujet pourrait-il être diagnostiqué sain ?
\end{enumerate}
\end{document}