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%Source : académie de Guyane
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt]18  juin 2015}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 

\medskip

On s'intéresse, dans cet exercice, à l'évolution annuelle en France de la production primaire d'énergie par l'éolien entre 2002 et 2012.

Le tableau ci-dessous donne cette évolution en kilotonnes équivalent pétrole (ktep).

\medskip


La \og tonne équivalent pétrole \fg, ou tep, est une unité de mesure de l'énergie correspondant au pouvoir calorifique d'une tonne de pétrole, c'est-à-dire à la quantité de chaleur dégagée par la combustion par le dioxygène d'une tonne de pétrole.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 								&2002 	&2004 	&2006 	&2008 	&2010 	&2012\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$				&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12\\ \hline
Production d'énergie (ktep) : $y_i$	&26 	&54 	&192 	&495 	&860 	&\np{1290}\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 						&2002 	&2004 	&2006 	&2008 	&2010 	&2012\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$		&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12\\ \hline
$z_i = \ln \left(y_i\right)$&  		&		&		& 		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter sur papier millimétré le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~z_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. \emph{On prendra $1$ cm comme unité.}
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage, arrondir les résultats à $10^{-1}$ près.

Placer le point G sur le graphique.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-2}$ près).
\item Dans la suite de l'exercice, on prendra pour $D$ l'équation $z = 0,41x + 2,56$.

Tracer $D$ dans le repère précédent.
\item Déduire des questions précédentes une expression de $y$ en fonction de $x$.
\item En utilisant la question précédente, à partir de quelle année la production annuelle en France d'énergie par l'éolien dépasserait-elle les \np{10000}~ktep ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} 

\medskip

Les autorités de santé d'une grande ville s'intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d'asthme.

En 2011, on a recensé environ $850$ nouveaux cas.

À partir de 2011, le nombre de nouveaux cas déclarés augmente environ de 2,5\,\% par an.

On désire modéliser la situation par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 850$.

Ainsi, $u_n$ modélise le nombre de nouveaux cas en $(2011 + n)$.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de nouveaux cas en 2012 et en 2013.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
		\item  Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item  En déduire le nombre de nouveaux cas en 2020.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer à partir de quelle année on dépassera les 1 400 nouveaux cas.
\item  On propose l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}		& $U$, $S$, $N$\\
\textbf{Initialisation :}	&\\
							&Affecter à $U$ la valeur 850\\
							&Affecter à $S$ la valeur U\\
							&Affecter à $N$ la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}		&\\
							&Tant que $S < \np{6000}$\\
							&\hspace{1cm}Affecter à $U$ la valeur $U \times 1,025$\\
							&\hspace{1cm}Affecter à $S$ la valeur $S + U$\\
							&\hspace{1cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
							&Fin tant que\\
\textbf{Sortie :}			&\\
							&\hspace{1cm}Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que représente $S$ dans cet algorithme ?
		\item Déterminer la valeur finale obtenue pour $N$ avec cet algorithme.
		\item Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d'alerte est atteint pour \np{6000}~nouveaux cas déclarés depuis 2011.
		
En supposant que le nombre de nouveaux cas évolue de la même manière, déterminer l'année à
partir de laquelle cela se produira.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \left(x^2 - 1,5x\right)\text{e}^x + b,\]

où $b$ désigne un nombre réel. Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J) du plan.
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE A : détermination de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

Supposons que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item En déduire la valeur de $f(0)$.
\item En utilisant la question 1, déterminer la valeur du nombre $b$.
\end{enumerate}

\medskip

Dans toute la suite du problème, on admettra que pour tout réel $x$, 

\[f(x) = \left(x^2 - 1,5x\right)\text{e}^x + 3.\]

\medskip
 
\textbf{PARTIE B : étude de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Sachant que la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est 3, qu'en déduit-on pour la courbe représentative de $f$ ?
	\end{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par:

\[f'(x) = \left(x^2 + 0,5x - 1,5\right)\text{e}^x.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $x^2 + 0,5x - 1,5 = 0$ dans $\R$.
		\item En déduire le signe de $f'$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs figurant dans l'annexe à joindre avec la copie, arrondir les résultats à $10^{-1}$ près.
		\item Représenter sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ dans le repère (O~;~I~;~J). \emph{On prendra comme unité $1$ cm.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par : 

\[F(x) = \left(x^2 - 3, 5x + 3,5\right)\text{e}^x + 3x.\]

Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Calculer l'aire du domaine $D$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.

Le résultat, dont on donnera la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé en
cm$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

\medskip

\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près.}

\smallskip

Une usine pharmaceutique fabrique des comprimés. Elle est dotée d'un service \og contrôle et qualité \fg{} qui est chargé de trier les comprimés et d'écarter ceux qui ont un défaut d'enrobage.

Lors d'un contrôle, ce service constate que 4\,\% des comprimés ont un défaut d'enrobage.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Un technicien, responsable de la chaîne de fabrication, prélève un échantillon de $200$~comprimés.

La production de comprimés est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à
un tirage aléatoire avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $200$ comprimés, associe le nombre de comprimés présentant un défaut d'enrobage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement A \og L'échantillon contient exactement 3 comprimés
présentant un défaut d'enrobage \fg.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement B \og Le prélèvement contient au moins 3 comprimés
présentant un défaut d'enrobage \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de comprimés présentant un défaut
d'enrobage dans l'échantillon de $200$ comprimés de la partie A par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'on prenne $\mu = 8$ et $\sigma \approx  2,77$ (valeur arrondie à $10^{-2}$ près).
\item Calculer $P(Y \leqslant 6)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Le technicien estime que ce pourcentage de 4\,\% de comprimés présentant un défaut d'enrobage est trop
élevé. Il décide alors de régler la machine pour abaisser ce taux à 0,8\,\%.

Après avoir terminé son réglage, le technicien fait un prélèvement de $700$~comprimés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des comprimés présentant un défaut d'enrobage dans cet échantillon de $700$~comprimés $\left(\text{arrondir à } 10^{-3}\right)$.

\medskip

Parmi les $700$ comprimés, le technicien trouve $10$ comprimés présentant un défaut d'enrobage.

\medskip

\item Déterminer la fréquence des comprimés présentant un défaut d'enrobage dans cet échantillon.
\item Le technicien peut-il considérer son réglage efficace ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{0,5cm}


\textbf{EXERCICE 3 :}

\medskip

\textbf{Partie B :}
\medskip

\textbf{5. a.} Compléter le tableau de valeurs ci-dessous, arrondir les résultats à $10^{-1}$ près.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$-5$ 	&$-4$	&$-3$	&$-2$	&$-1,5$	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5	&1	&1,5	&2\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&		& 3	&		&	& 3		&10,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}