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%Tapuscrit : Nicolas LINCE
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]16 juin 2016}}

\vspace{0,3cm}
 
Calculatrice autorisée conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. On arrondira les résultats à }\boldmath $10^{-3}$\unboldmath.

\smallskip

Une laiterie produit des fromages, frais ou secs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour être accepté, un fromage frais doit avoir une masse supérieure à $240$~grammes. On appelle M
la variable aléatoire qui à tout fromage frais, prélevé au hasard dans la production, associe sa
masse en grammes. On suppose que M suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart type
$\sigma = 5$.

Quelle est la probabilité qu'un fromage frais prélevé au hasard dans la production soit refusé ?
\item On suppose que 2\,\% des fromages frais produits ont une masse insuffisante. On prélève un
échantillon de 150~fromages frais, pris au hasard dans la production. On suppose que la
production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $150$~fromages frais, pris au hasard dans
la production, associe le nombre de fromages de masse insuffisante dans l'échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
		\item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans le prélèvement au maximum cinq fromages de
masse insuffisante ?
		\item Déterminer l'espérance de $X$ et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item La laiterie estime que 18\,\% de ses consommateurs de fromages préfèrent les fromages secs.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence $f$ des consommateurs de la laiterie préférant les fromages secs dans un échantillon de $400$~personnes.
		\item La laiterie interroge au hasard un échantillon de $400$~consommateurs sur leur préférence ;
$55$ d'entre eux déclarent préférer les fromages secs. La laiterie doit-elle alors considérer que
la préférence de sa clientèle concernant les fromages secs a changé? Pourquoi ?	
	\end{enumerate}
\item Pour peser ses fromages, l'entreprise fait appel à un fabricant de balances électroniques. La
variable aléatoire $T$ qui, à chaque balance choisie au hasard dans la production de ce fabricant,
associe la durée (exprimée en heures) pendant laquelle la balance est réglée correctement, suit la
loi exponentielle de paramètre $\lambda$, $\lambda$ étant un réel. Une balance produite chez ce fabricant reste, en moyenne, correctement réglée durant 90 heures.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
		\item On extrait au hasard une balance de la production. Déterminer le réel $t_0$ tel que
$P\left(T \geqslant t_0\right) = 0,93$. Comment interpréter ce résultat ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

Une petite entreprise familiale veut stériliser une partie de sa production maraîchère sous forme de
conserves, à l'aide d'un autoclave.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction qui à tout temps $t$, exprimé en minutes, associe la température, exprimée en
degrés Celsius, au coeur de la conserve placée dans l'autoclave. On admet que la fonction $f$ ainsi
définie est solution de l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y' + 0,162y = 20,3\quad  \text{sur } [0~;~60].\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
		\item Au moment de la mise en route de l'autoclave (c'est-à-dire au temps $t = 0$), la température au cœur de la conserve est égale à $21$\degres (température dans l'atelier de stérilisation).
		
Déterminer une expression de $f(t)$ pour tout réel $t \geqslant 0$.
		
Dans la suite de l'exercice, la température, exprimée en degrés Celsius, au coeur de la conserve placée
dans l'autoclave, en fonction du temps $t$, exprimé en minutes, est modélisée par la fonction $g$ définiesur [0~;~60] par 
		
\[g(t) = 125 -104 \text{e}^{- 0,16t}.\]
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(t)$ où $g'$ est la fonction dérivée de $g$. Étudier le signe de $g'$ sur [0~;~60].
		\item En déduire le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate}
\item La courbe $C_g$, fournie en annexe, est la représentation graphique de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la température au bout de $9$~minutes? On donnera la valeur arrondie au degré.
		\item Pour que la stérilisation soit efficace, la conserve doit rester 3 minutes à plus de 120\degres. 
		
À l'aide de la courbe $C_g$, déterminer au bout de combien de temps après le lancement de la
stérilisation, il sera possible d'arrêter l'autoclave car la stérilisation sera alors efficace. 

On laissera les traits de construction apparents et on rendra l'annexe avec la copie.
		\item Retrouver ce résultat en résolvant une inéquation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\medskip

Les questions sont indépendantes entre elles.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\textbf{1.}  La courbe $C$ ci -contre est la représentation graphique
d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4~;~4]$. La droite
T est la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $- 1$.

\medskip

\textbf{Question :} par lecture graphique, donner les valeurs de
$f(-1)$ et de $f'(-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.} \hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(3.1,6.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](-3,-3)(3,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.5)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{x 3 exp  4 x mul sub  1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{ 3 x sub}
\uput[l](-2.3,-1.8){\blue $C$}\uput[ur](2.5,0.5){T}
\end{pspicture*}}

\parbox{0.55\linewidth}{\textbf{2.}   La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre est la courbe représentative 
de la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0,5~;~5] par :

\[g(x)= \dfrac{1}{x} + x + 1.\]

\medskip
\textbf{Question :} déterminer, en unités d'aire, l'aire du
domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$
et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$.}  \hfill \parbox{0.35\linewidth}{
\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(5.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,0)(6,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{5}{1 x div x  add 1 add}
\uput[dr](1.5,3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{\textbf{3.} Le graphique ci-contre donne deux courbes $C_1$ et $C_2$.

Ces deux courbes sont représentatives de deux fonctions
définies sur $]0~;~+\infty[$ : une fonction $h$ et une de ses
primitives $H$.

\medskip


\textbf{Question :} indiquer, en justifiant votre réponse, laquelle
des deux courbes $C_1$ ou $C_2$ est la courbe représentative
de la fonction $H$.}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-3.1)(3.5,3.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3.2}{x ln  1 sub x mul 2.5 mul 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0.01}{3.2}{x ln 2.5 mul}
\uput[r](3,1.8){\blue $C_1$}\uput[ul](3,2.7){\green $C_2$}
\end{pspicture*}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

À partir du 1\up{er} janvier 2014, Alice a décidé de travailler son endurance à la course à pied. Pour cela, elle va s'entraîner régulièrement. Tous les mois, elle note ses performances afin d'évaluer ses
progrès.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Alice suit d'abord l'évolution des distances parcourues. Au mois de janvier 2014, la distance
qu'elle est capable de courir en une fois est égale à $10$~km et cette distance courue en une fois
augmente tous les mois de 6\,\%. 

Pour tout entier naturel $n$, on appelle $d_n$ la distance, en
kilomètres, qu'Alice est capable de courir en une fois le $n$-ième mois après le mois de janvier
2014. Ainsi, on considère que $d_0 = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $d_1 = 10,6$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $d_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la distance qu'est capable de courir Alice en une fois au mois de septembre 2014.
		
On donnera la valeur arrondie à 0,1 km.
		\item Au bout de combien de mois Alice sera-t-elle capable de courir en une fois 25 km ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item À partir du mois de septembre 2015, Alice s'intéresse au temps mis pour courir les $10$ premiers
kilomètres de sa course à pied. Son temps pour les $10$ premiers kilomètres, au mois de septembre
2015, est de $60$~minutes. On admet que ce temps diminue tous les mois de 2\,\%, et cela jusqu'en
décembre 2016. Alice utilise l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :} $N$ entier naturel, $t$ réel\\
\textbf{Initialisation :}\\
\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur 0\\
\hspace{0,5cm}Affecter à $t$ la valeur 60\\
\textbf{Traitement :}\\
\hspace{0,5cm}Tant que $t > 50$\\
	\hspace{1cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
	\hspace{1cm}Affecter à $t$ la valeur $0,98 \times t$.\\
\hspace{0,5cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :} Afficher $N$, Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que cherche à déterminer Alice avec cet algorithme ?
		\item Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs successives prises par les
variables $N$ et $t$ lors du déroulement de l'algorithme, jusqu'à son arrêt.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $N$								&0 	&1		& \ldots&	&	&\\ \hline
Valeur de $t$\: $\left(\text{arrondie à }
 \:10^{-2}\right)$							&60 &58,80 &\ldots	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelles sont les valeurs affichées en sortie par l'algorithme ? Que peut en déduire Alice ?
		\item Alice a pour objectif de se qualifier pour un championnat de semi-marathon, L'épreuve de
qualification est aussi un semi-marathon, d'une longueur de 21~km, qui se déroulera au
mois de novembre 2016. Alice peut-elle espérer se qualifier sachant que cette épreuve se
court à 82\,\% de la vitesse qu'elle peut avoir sur les $10$~premiers kilomètres de course et que
le temps pour se qualifier doit être inférieur à $2$~heures? On justifiera la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}

\begin{center}

\textbf{Exercice 2 : annexe}

\textbf{Représentation graphique de la fonction } \boldmath $g$\unboldmath

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.7mm,algebraic=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-7)(63,137)
\multips(0,0)(0,5){28}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(63,0)}
\multips(0,0)(1,0){63}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,137)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(65,137)
\psplot[plotpoints=400,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{63}{125-104*EXP(-0.16*x)}
\uput[d](59,10){temps (min)}
\uput[r](1.5,130){température \degres~C}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}