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%Tapuscrit : Nicolas LINCE
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]7 septembre 2015 }}
\end{center}
    
\medskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip

Dans une grande salle parisienne, lors de huit concerts différents, on a relevé à l'aide d'un
sonomètre la pression acoustique (en Pascal : Pa) à laquelle est soumise l'oreille d'une personne
ainsi que le niveau d'intensité sonore (en décibel: dB) du bruit responsable de cette pression.

Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pression acoustique : $p_i$ &0,5 	&1 		&3 	&5 	&7 		&10 	&13 	&15\\ \hline
Intensité sonore : $y_i$	&88 	&94 	&103&108&111 	&114 	&116 	&117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points correspondant est donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(20,52)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=80,Dy=5](0,0)(20,50)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,linecolor=red,dotscale=2](0.5,8)(1,14)(3,23)(5,28)(7,31)(10,34)(13,36)(15,37)
\uput[d](10,-2.5){Pression acoustique (en Pa)}
\rput{90}(-2,25){Intensité sonore (en dB)}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Un ajustement affine du nuage de points semble-t-il pertinent ? Pourquoi ?
\item On pose $x_i = \log p_i$. On rappelle que la fonction log désigne la fonction logarithme décimal.

Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $x_i$ à $10^{- 2}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i = \log p_i$ 			& 	& 		& 	& 	& 		&1 		& 		&\\ \hline
Intensité sonore : $y_i$	&88 &94 	&103&108&111 	&114 	&116 	&117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère donné en annexe, représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique
donné en annexe.
\item À l'aide de la calculatrice, en arrondissant les coefficients à $10^{- 2}$, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe.
\item Lors d'un concert de \og The Who \fg{} en 1976, l'oreille des spectateurs a été soumise à la
pression de $20$~Pa.

Déterminer l'intensité sonore atteinte lors de ce concert. Le résultat sera donné au décibel
près.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip
Dans une entreprise fabriquant des lentilles optiques, on prélève au hasard un échantillon de $100$~lentilles sur une chaîne de production particulière. On considère ce prélèvement comme un tirage avec remise.

Une lentille est considérée comme étant conforme au cahier des charges de fabrication SI sa
vergence, exprimée en dioptries, est comprise entre $5,3$ et $5,6$.

Le service de contrôle de qualité de l'entreprise estime que 90\,\% des lentilles fabriquées sont
conformes.

Dans cet exercice toutes les probabilités seront arrondies à $10^{- 2}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$~lentilles, associe le nombre de
lentilles conformes de cet échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de
cette loi.
\item  Déterminer la probabilité $p(X = 85)$.
\item  Déterminer les valeurs de l'espérance et de l'écart type de cette variable aléatoire $X$.
Interpréter l'espérance de cette variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale
d'espérance $90$ et d'écart type $3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P( 84 < Y < 96)$.
\item Déterminer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, au moins $85$~lentilles conformes.
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des
lentilles conformes dans un lot de $100$~lentilles.

Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$.
\item Le responsable qualité de cette entreprise veut vérifier la production. Pour cela, il prélève un échantillon de $100$ lentilles et il obtient $82$ lentilles conformes.

Devrait-il s'interroger sur le réglage de la chaîne de fabrication? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

On injecte à un malade une dose de 5 cm$^3$ d'un produit.

Toutes les heures, on fait un relevé de la quantité, exprimée en cm$^3$, de ce produit dans le sang.

Cette quantité diminue du fait de son élimination naturelle par l'organisme.

On s'intéresse au volume de produit, exprimé en cm$^3$, dans le sang du malade $n$ heures après son
injection. L'organisme du patient élimine 6\,\% du produit présent toutes les heures.

La situation est modélisée par une suite $\left(V_n\right)$ de premier terme $V_0 = 5$ , où $V_n$ fournit une estimation du volume en cm$^3$, de produit dans le sang du malade au bout de $n$ heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $V_1$,\: $V_2$ et $V_3$ ; (arrondir les valeurs au millième).
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'écriture de $V_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de $V_n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. Justifier.
 	\end{enumerate}
\item Calculer le volume de produit dans le sang au bout de 9 heures. Arrondir la valeur au
millième.
\item Déterminer le nombre d'heures nécessaires pour réduire de moitié le volume du produit
injecté dans le sang.
\item On donne l'algorithme ci-dessous qui se rapporte à la suite $\left(V_n\right)$ étudiée.
	
\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
Variables : $V$, $N$\\
~\\
Initialisation :\\
$V$ prend la valeur $5$\\
$N$ prend la valeur $0$\\
~\\
Traitement :\\
Tant que $V \geqslant 2$\\
\qquad $V$ prend la valeur $0,94 \times V$\\$
\qquad $N prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
~\\
Sortie :\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur de $N$ affiche cet algorithme après avoir été exécuté ? Interpréter le résultat.
		\item On injecte la même dose de produit à un autre malade. L'organisme n'élimine toutes les
heures que 3\,\% du produit relevé à l'heure précédente.
		
On souhaite déterminer le temps nécessaire pour que le volume de produit dans le sang
soit inférieur à $0,1$~cm$^3$.
		
Modifier l'algorithme précédent pour qu'il fournisse la réponse au problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip

Dans une certaine usine, la température d'un moteur thermique est régulée par un système de
circulation d'eau de refroidissement. Quand la température de cette eau atteint 90~\degre C, un ventilateur se met en action afin de refroidir le liquide dans le radiateur. Il s'arrête lorsque la température redevient inférieure à 50~\degre C.

On mesure en minutes le temps $t$ écoulé à partir de l'instant où le ventilateur se déclenche.

On admet que la température de l'eau, exprimée en degrés Celsius (~\degre C), est donnée à l'instant $t$ par $f(t)$ où $f$, fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$, est solution de l'équation différentielle

\[(E) : y' + 0,04y = 2,04.\]

De plus, on sait que $f(0) = 90$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale
$f(0) = 90$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 39\text{e}^{-0,04t} + 51.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
\item  La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(t)$.
		\item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\item  Comment varie la température de l'eau dans le moteur à partir de l'instant où le ventilateur
se déclenche ?
\item  Le ventilateur va-t-il s'arrêter ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=10cm,yunit=0.15cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(1.55,65)
\multido{\n=-0.50+0.05}{42}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,65)}
\multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](-0.5,\n)(1.55,\n,)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Oy=80,Dy=5]{->}(0,0)(-0.5,0)(1.55,65)
\uput[u](1.52,0){$x$}
\uput[r](0,64.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}