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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL biotechnologies}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{15 juin 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 15 juin 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

On injecte un médicament à un patient. Le tableau suivant donne la concentration (en millimoles par litre) du médicament présent dans son sang à différents instants.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en heures&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 		&10\\ \hline
Concentration $C_i$ en 
millimoles par litre&0,082 		&0,065 	&0,058 	&0,045 	&0,040 	&0,030 	&0,024 	&0,021 	&0,019 	&0,013\\ \hline
$y_i = \ln 
\left(C_i\right)$	&$- 2,50$	&		&		&		&		&		&		&		&		&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter la dernière ligne du tableau en annexe 1. On donnera les valeurs arrondies à $10^{-2}$.
\item Tracer, sur du papier millimétré, le nuage de points $M_i\left(t_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités à 1~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. 

Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y = at + b$. Les
valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\emph{Dans la suite, on retient comme droite d'ajustement la droite $\Delta$ d'équation :} $y = -0,2t - 2,3$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Tracer la droite $\Delta$ sur la feuille de papier millimétré précédente.
\item Déterminer graphiquement la concentration au bout de 11~heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ millimoles par litre.
\item Justifier que la concentration (en millimoles par litre) du médicament présent dans le sang du patient à l'instant $t$ peut être modélisée par $C(t) = 0,1 \text{e}^{-0,2t}$.
\item Au bout de combien d'heures la concentration sera-t-elle inférieure ou égale à $10^{-3}$ millimoles par litre ? On arrondira le résultat à l'heure.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip

Une entreprise produit 30 tonnes de déchets non recyclables en 2015. Chaque année, l'entreprise veut diminuer la masse de déchets non recyclables de 3\,\% par rapport à l'année précédente.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, on note $p_n$ la masse de déchets non recyclables à l'année $2015+ n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left(p_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $p_0$ et la raison.
\item Exprimer $p_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la masse de déchets non recyclables en 2026 ? On donnera la valeur arrondie au kilogramme.
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$u$ et $S$ réels\\
\textbf{Initialisation :}\\
$u$ prend la valeur 30\\
$S$ prend la valeur 30\\
\textbf{Traitement:}\\
Pour $i$ allant de 1 à 5\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $0,97 \times u$\\
$S$ prend la valeur $S + u$\\
Fin Pour\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, dans le tableau fourni en annexe 2 et à rendre avec la copie, les valeurs successives prises par les variables $u$ et $S$ lors du déroulement de l'algorithme, jusqu'à son arrêt. Les valeurs seront arrondies à $10^{-2}$.
		\item Quelle valeur sera affichée en sortie de cet algorithme ? Que représente-t-elle ?
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'algorithme donné en annexe 2 afin de déterminer en quelle année la somme de tous les déchets non recyclables cumulés depuis l'année 2015 dépassera $300$~tonnes.
		\item Déterminer alors l'année où la somme de tous les déchets non recyclables cumulés depuis l'année 2015 dépassera $300$~tonnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

On étudie le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence.

\smallskip

On modélise cette situation par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ qui à chaque instant $t$ (exprimé en heures) associe le nombre d'individus, en milliers, présents dans l'enceinte à cet instant.

\smallskip

On admet que pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, 

\[f(t) = \np{1200} - \np{1000} \text{e}^{- 0,04t}.\]

Dans le repère orthogonal donné en annexe 3, on a tracé la courbe représentative 
$(\mathcal{C})$ de la fonction~$f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe 3 suggère l'existence d'une asymptote horizontale.

Donner une équation de cette asymptote et justifier ce résultat par un calcul de limite.

\emph{On pourra utiliser le résultat suivant:} $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,04t}  = 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique de l'annexe 3, déterminer le nombre d'individus, en milliers, présents dans l'enceinte au bout de $40$ heures. On fera apparaître les traits de construction utiles.
		\item  Déterminer, par le calcul, au bout de combien d'heures le nombre d'individus, en milliers, initialement présents dans l'enceinte aura été multiplié par $5$.
 	\end{enumerate}
\item  On appelle vitesse d'évolution du nombre d'individus à l'instant $t$, exprimée en nombre d'individus en milliers par heure, le nombre $f'(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $t$ positif ou nul, calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-1}$ de la vitesse d'évolution du nombre d'individus, en milliers par heure, à l'instant $t = 50$~heures.
		\item On appelle (T) la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $50$. 
		
Tracer cette tangente sur le graphique donné en annexe 3 à rendre avec la copie. On expliquera la méthode employée.
		\item La vitesse d'évolution du nombre d'individus, en milliers par heure, diminue au cours du temps.

Comment cela se traduit-il sur le graphique de l'annexe 3 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}   

\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}
\end{center}

Une entreprise fabrique en grand nombre des flacons destinés à contenir un parfum. Un flacon est non conforme s'il ne répond pas au cahier des charges défini par l'entreprise.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On note $E$ l'évènement \og un flacon prélevé au hasard dans la production d'une journée est non conforme \fg. La probabilité de cet évènement est égale à $0,07$.

\smallskip

On prélève au hasard $200$~flacons dans la production de cette journée, suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $200$~flacons pris au hasard dans la production, associe le nombre de flacons non conformes dans ce prélèvement.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, dix flacons soient non conformes.
\item  Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat.
\item  Calculer l'écart type de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par $X$ par la loi normale de paramètres 
$\mu = 14$ et $\sigma = 3,61$. On considère une variable aléatoire $Y$ suivant cette loi normale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier le choix des valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
\item En utilisant la loi de $Y$, déterminer la probabilité qu'un prélèvement de $200$~flacons contienne au moins $15$~flacons non conformes.
\item On a représenté ci-dessous dans un repère orthogonal, la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ de la fonction de densité de la loi normale de paramètres $\mu = 14$ et $\sigma = 3,61$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=50cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.01)(28.5,0.13)
\def\m{14}% moyenne 
\def\s{3.61}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=violet]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{\f}
\psline(8,0)(0,0)}
\multido{\n=0+2}{14}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.00+0.02}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.02,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(28.5,0.13)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{28}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

L'aire du domaine grisé arrondie à $10^{-3}$ vaut $0,048$ unité d'aire.

Déterminer les probabilités $P(Y \geqslant 20)$ puis $P(8 \leqslant Y \leqslant 20)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

L'entreprise affirme à ses clients que 93\,\% des flacons sont conformes. Une enseigne de parfumerie décide d'acheter une grande quantité de flacons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cette enseigne souhaite vérifier l'affirmation de l'entreprise sur la qualité des flacons. Pour cela, elle prélève un échantillon de $400$~flacons au hasard dans une livraison.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des flacons conformes dans un échantillon de $400$~flacons.
		\item L'enseigne de parfumerie constate que $36$~flacons de l'échantillon ne sont pas conformes.
\end{enumerate}		
Ce résultat remet-il en question la confiance de cette enseigne de parfumerie envers son
entreprise ?

\item  On cherche à déterminer la taille $N$ des échantillons à partir de laquelle l'intervalle de fluctuation asymptotique a une longueur inférieure ou égale à $0,02$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire, en fonction de $n$, un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de flacons conformes dans un échantillon de $n$ flacons puis vérifier que la longueur de cet intervalle est $2 \times 1,96\sqrt{\dfrac{0,93 \times 0,07}{n}}$.
		\item Avec un logiciel de calcul formel, on a obtenu les informations suivantes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
	&$2 * 1,96*\text{sqrt}((0,93*0,07)/x)<=0,02$\\
1	&$2 \cdot 1,96 \sqrt{\dfrac{0,93 \times 0,07}{x}} \leqslant  0,02$\\ \hline
	&$2(1,96) \text{sqrt}((0,93 (0,07))/ x) \leqslant 0,02$\\
2	&Résoudre : $\left\{x \geqslant \dfrac{\np{1563051}}{625}\right\}$\\ \hline
	&$\np{1563051} / 625$\\
3 	&$\approx \np{2500,88}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Utiliser les résultats obtenus pour en déduire la valeur $N$ cherchée.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{\large ANNEXE 1 : Exercice 1} (à rendre avec la copie)
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en heures &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
Concentration $C_i$ en millimoles par litre &0,082 &0,065 &0,058 &0,045 &0,040 &0,030 &0,024 &0,021 &0,019 &0,013\\ \hline
$y_i = \ln \left(C_i\right)$& $- 2,50$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ANNEXE 2 : Exercice 2} (à rendre avec la copie)

\medskip

\textbf{4. a.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Étape $i$& $u$& $S$\\ \hline
1 &29,10 &59,10\\ \hline
2 &28,23 &87,33\\ \hline
3 &&\\ \hline
4 &&\\ \hline
5 &&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{5. a.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$n$ entier naturel\\
$u$ et $S$ réels\\
\textbf{Initialisation :}\\
$u$ prend la valeur 30\\
$S$ prend la valeur 30\\
$n$ prend la valeur $0$\\
\textbf{Traitement:}\\
\dots \dots \dots\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $0,97 \times u$\\
\hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + u$\\
\hspace{1cm}$n$ prend la valeur \ldots\\
\ldots\ldots\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\pagebreak

\textbf{\large ANNEXE 3 : Exercice 3} (à rendre avec la copie)

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.01cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-10,-20)(150,1270)
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](0,\n)(150,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(150,1250)
\uput[l](20,1265){Nombre d'individus}
\uput[u](140,0){$t$ (en heures)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{150}{1200 1000 2.71828 0.04 x mul exp div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}