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%tapuscrit : Denis Vergès
% Source : Dominique Noblet que nous remercions
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique juin 2006~\decofourright\\[4pt]Antilles-Guyane  }} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 12 points}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~4] par :
 
\[f(x) = \dfrac{3 + 2 \ln (x)}{x}\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 4 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et
\item 2 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$. On pourra écrire $f(x)$ sous la forme :
\[f(x) = \left[3 + 2\ln (x)\right] \times\dfrac{1}{x}.\]

Donner une interprétation graphique du résultat.
\item Justifier que la derivée $f'$ est donnée par $f'(x) = \dfrac{-1 - 2\ln (x)}{x^2}$	pour $x$ appartenant à ]0~;~4].
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation : $- 1 -2 \ln (x) = 0$.
		
Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie au centième.
		\item Résoudre l'inéquation : $-1 -2 \ln (x) > 0$.
		\item En déduire le signe de la dérivée $f'$ puis le tableau de variations de la fonction $f$ sur  ]0~;~4].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs arrondies au centième :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,2&0,3	&0,4	&0,6	&0,8	&1	&1,5&2	&3	&4\\ \hline
$f(x)$	&	& 1,97	&		&		&		&	&	&	& 	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$.
		\item Estimer, à l'aide du graphique, les solutions de l'équation $f(x) = 2$. On laissera apparents les traits de constructions.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
   
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}
 
\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, les valeurs calculées seront arrondies au millième.}
 
\medskip
 
On étudie l'évolution d'une population de bactéries en fonction du temps.

$N$ désigne le nombre de bactéries en milliers par millilitre à un instant donné $t$ exprimé en heures.

On a observé et relevé $N$ toutes les demi-heures et on a obtenu le tableau ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$	&0&0,5&1&1,5&	2&2,5&3&3,5&4&4,5&5\\ \hline
$N$	& 9&10,5&11&12,5&15&16&18&20&22&24&26\\\hline
\end{tabularx}\]
 
Pour étudier l'évolution de cette population, on effectue un changement de variable : $y = \ln (N)$.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$				&0	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3	&3,5&4	&4,5&5\\ \hline
$y = \ln (N)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 3~cm pour une heure
\item sur l'axe des ordonnées : 10~cm pour une unité, en commençant les graduations à partir de~2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de G, point moyen du nuage.
		\item Déterminer une équation de la droite $D$ passant par G et ayant pour coefficient directeur $0,215$.
		\item Tracer cette droite $D$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item On considère que cette droite permet un ajustement de la série $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$. Estimer le nombre de bactéries (en milliers par millilitre) au bout de 6 heures, à l'aide du graphique puis par un calcul.
\end{enumerate}
\end{document} 