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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL  Biochimie}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie La Réunion juin 2010~\decofourright}}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Un laboratoire a mis au point un test de dépistage d'une maladie non contagieuse, et souhaite en évaluer l'efficacité. Une étude est alors menée sur une population de \np{10000} individus dont on sait que 15\,\% sont touchés par la maladie.
 
On obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 36 individus sont atteints par la maladie et présentent un test négatif 
\item[$\bullet~$] 0,34\,\% de la population étudiée présente un test positif et n'est pas malade.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et remplir le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

\hspace*{-0.38cm}\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}	&Individu malade 	&Individu sain 	&Total\\ \hline 
Test positif 			&					&				&\\ \hline
Test négatif			&					&				&\\ \hline 
Total					&					&				& \np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $M$ l'évènement : \og l'individu est malade. \fg 
\item[] $\overline{M}$ l'évènement : \og l'individu est sain. \fg 
\item[] $T_{+}$ l'évènement : \og le test est positif. \fg 
\item[] $T_{-}$ l'évènement : \og le test est négatif. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne de cette population, chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie.
 
Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale exacte.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p(M)$ de l'évènement $M$ , puis la probabilité $p\left(T_{+}\right)$ de l'évènement $T_{+}$. 
		\item Définir à l'aide d'une phrase l'évènement $M \cap T_{+}$ et l'événement $M \cup T_{+}$, et calculer la probabilité de chacun d'entre eux.
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard un individu malade, chaque individu malade ayant la même probabilité d'être choisi.
 
Quelle est la probabilité $p$ que son test soit négatif ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
En conclusion de l'étude, le test est déclaré efficace lorsque moins de 3\,\% des individus malades présentent un test négatif, et que plus de 97\,\% des individus sains présentent un test négatif.
 
Ce test sera-t-il déclaré efficace ? 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(t) = 67 - \dfrac{300}{\text{e}^{0,18t} +5 }\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la représentation graphique de la fonction $f$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Soit $f'$ la dérivée de la fonction $f$, définie sur $[0~;~+\infty[$ .
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ et démontrer que pour tout réel $t$ positif ou nul : 
		
\[f'(t) = \dfrac{54\text{e}^{0,18t}}{\left(\text{e}^{0,18t} + 5 \right)^2}\]
	 
		\item Déterminer le signe de $f'(t)$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(t)$ seront arrondies à $0,1$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&3	&5	&8	&10	&12	&14		&17	&20		&24	&28\\ \hline
$f(t)$	&17	&	&	&	&	&	&49,8	&	&59,8	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Construire la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour 2~unités en abscisses et 1~ cm pour 10~ unités en ordonnées).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Application}

\medskip
 
Pour préserver l'environnement, les français trient depuis de nombreuses années leurs déchets, en particulier le verre. Le tableau suivant donne l'évolution depuis 1985 du taux de recyclage du verre en France exprimé en pourcentage:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année								&1985&1990&1995&1999&2005\\ \hline 
Taux de recyclage du verre (en\,\%)	&16,7&26,8&39,5&49,7&59,7\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source INSEE}}
\end{tabularx}

\medskip
 
On admet que la fonction $f$ de la partie A modélise de façon satisfaisante le taux (exprimé en pourcentage) de recyclage du verre en France lorsque $t$ représente le nombre d'années qui s'écoulent depuis l'année 1985 (année qui correspond donc à $t = 0$).
 
Répondre aux questions suivantes en utilisant la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux de recyclage du verre en France pour l'année 2011 (on arrondira le résultat à $0,1$\,\% près). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul l'année ou le taux de recyclage du verre en France sera de $62,6$\,\%. 
		\item Vérifier graphiquement le résultat précédent, en faisant apparaître sur le graphique de la partie A les traits de construction utiles.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Selon le modèle précédent, le taux de recyclage du verre en France sera-t-il un jour de 70\,\% ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}
\end{document}