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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL  Biochimie}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie La Réunion juin 2011~\decofourright}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiples :} \emph{pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

\bigskip
 
On inscrira sur la copie la référence de la question (exemple : A 1.) et la lettre de la réponse choisie.

\bigskip
 

\textbf{A.} Sur les 800 élèves d'un lycée, 450 pratiquent un sport et parmi ceux-ci, $\dfrac{1}{3}$ sont des externes.

De plus 21,25\,\% des élèves du lycée sont des externes ne pratiquant aucun sport.
 
On interroge un élève au hasard parmi les 800 ; chaque élève a la même probabilité d'être interrogé.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{450}$&
\textbf{b.~~}$\dfrac{9}{16}$&
\textbf{c.~~}$0,45$
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  La probabilité d'interroger un élève externe est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~}$0,32$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~}$0,4$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  La probabilité d'interroger un élève qui est externe ou qui pratique un sport est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $\dfrac{77}{80}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{31}{40}$&\textbf{c.~~} $0,75$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On interroge au hasard un élève parmi les externes, la probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $\np{0,46875}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{16}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.} On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln x - x$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$&\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$&\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$\\
\end{tabularx}

\medskip  
\item  L'équation $f(x) = 0$ admet pour solution :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $0$&\textbf{b.~~} $1$&\textbf{c.~~} $\text{e}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item  La fonction dérivée de $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $f'(x) = \ln x$&\textbf{b.~~} $f'(x)= \dfrac{1}{x} - 1$&\textbf{c.~~} $f'(x) = \ln x + x - 1$\\
\end{tabularx}

\medskip   
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{C.} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = 1 + \text{e}^{- x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En $+ \infty$ la courbe représentative de $f$ admet une asymptote d'équation : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $y = 0$&\textbf{b.~~} $y = 1$&\textbf{c.~~} $x = 0$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $F(x) = -  \text{e}^{- x}$&\textbf{b.~~} $F(x) = x +  \text{e}^{- x}$&\textbf{c.~~} $F(x) = x -  \text{e}^{- x}$\\
\end{tabularx}

\medskip  
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{D.} Soit l'équation différentielle $y' + 2 y = 0$ ; parmi les solutions de cette équation, on considère la solution particulière $f$ telle que $f(0) = 3$. L'expression de $f(x)$ sur $\R$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 3\text{e}^{- 2x}$&\textbf{b.~~} $f(x) = 3\text{e}^{2x}$&\textbf{c.~~} $f(x) = -3\text{e}^{- 2x}$\\
\end{tabularx}

\medskip   

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude graphique d'une courbe de titrage}

\medskip
 
Dans une solution d'acide chlorhydrique, on verse un volume $v$ (en mL) d'une solution d'hydroxyde de sodium et on mesure à chaque étape de l'expérience le pH de la solution obtenue.
 
Un élève a fait les mesures suivantes (pH arrondi à $0,1$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline 
Volume $v$ (ml) de NaOH versé &0 	&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12 	&14\\ \hline
pH 							  &2,2 	&2,3	&2,4 	& 2,5 	&2,6 	&2,7	&2,9	&3,8\\ \hline\hline
Volume $v$ (ml) de NaOH versé &16 	&18 	&20 	&22 	&24 	&26 	&28 	&30\\ \hline 
pH 							  &7 	&10,1 	&11 	&11,3 	&11,4 	&11,5 &11,6 	&11,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $(C)$ de titrage obtenue à partir du tableau ci-dessus.
 
Unités : en abscisses 1 cm pour 2~mL ; en ordonnées 1~cm pour unité de pH. 
\item  À l'équivalence le pH de la solution est $7$. Quel volume de solution d'hydroxyde de sodium a été versé à l'équivalence ? 
\item  Quel est le pH initial de la solution d'acide chlorhydrique ? 
\item  Au point E(16~;~7), la courbe $(C)$ admet une tangente (T) de coefficient directeur égal à
2. Déterminer l'équation de la tangente (T) et tracer cette tangente sur la courbe du 1. 
\item  Pour un volume $v$ de solution d'hydroxyde de sodium versé inférieur strictement à 12~ml, on cherche à décrire à l'aide d'une fonction l'évolution du pH en fonction du volume $v$. Quel type de fonction pourrait-on proposer ? Déterminer cette fonction. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'un modèle mathématique}

\medskip
 
On considère que la courbe $(C)$, obtenue en partie A, est la représentation graphique de la fonction $f$ 
définie sur [0~;~30] par 

\[f(x) = 0,05 x + 10,2 - \dfrac{8}{1 + \text{e}^{x - 16}}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la valeur exacte de $f(16)$ est $7$. 
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer qu'on peut écrire : 
 
\[f'(x) = 0,05 + \dfrac{8\text{e}^{x - 16}}{\left(1 + \text{e}^{x - 16}\right)^2}\]
 
\item  Justifier que, pour tout $x$ réel de [0~;~30], $f'(x) > 0$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur cet intervalle. 
\item  Soit $\left(T_{\text{A}}\right)$ la tangente à $(C)$ au point A$(14~;~f(14))$ et soit $\left(T_{\text{B}}\right)$ la tangente à $(C)$ en B$(18~;~f(18))$.
 
Montrer que $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{B}}\right)$ sont deux droites parallèles. 
\item  On donne $f(14) = 3,85$ et $f(18) = 10,15$ à $10^{-2}$ près. À quel point du graphique de la première partie de l'exercice correspond le milieu de [AB] ? (Justifier). 
\end{enumerate}
\end{document}