\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique \decofourright\\[4pt]Métropole  juin 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

Le danger d'une exposition au bruit dépend de deux facteurs :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  le niveau sonore $(x_{i})$
\item[$\bullet~$] la durée de l'exposition $(y_{i})$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le niveau sonore est exprimé en décibels, dont l'abréviation est dB.

Par exemple :

- 50 dB est le niveau habituel de conversation

- 85 dB est le seuil de nocivité (pour une exposition de 8 heures parjour).

Des durées limites d'exposition quotidienne à une phase bruyante ont été calculées et intégrées à la réglementation. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}\hline
Niveau sonore en dB  : $x_{i}$&	Durée maximale d'exposition en heures par jour : $y_{i}$\\ \hline
$x_{1} = 85$& $y_{1} = 8$\\ \hline
88&	4\\ \hline
91&	2\\ \hline
94&	1\\ \hline
97&	0,5\\ \hline
100& 0,25\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Ainsi être exposé 8 heures à 85 dB est exactement aussi dangereux que d'être exposé 1 heure à 94 dB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les six niveaux sonores donnés dans la première colonne du tableau ci-dessus sont en progression arithmétique.
		\item On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme $x_{13}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les durées maximales d'exposition, exprimées en heures par jour, données dans la deuxième colonne sont en progression géométrique.
		\item On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme $y_{13}$. Arrondir à la seconde la plus proche.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.
		
Recopier puis compléter le tableau ci-dessous dans lequel on fera figurer les valeurs approchées de $z_{i}$ arrondies à $10^{-3}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveau sonore $x_{i}$			&85		&88	&91	&94	&97 &100\\ \hline
$z_{i} =\ln \left(y_{i}\right)$	&2,079	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Placer les points de coordonnées $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal tel que l'intersection des axes a pour coordonnées (85~;~0) ; 0,5 cm représente 1 dB en abscisse et 1 cm représente 0,5 unité en ordonnées. 
		\item Les points du nuage semblent alignés.
		
Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par le point A d'abscisse 85 et le point B d'abscisse 94, sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont calculés à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Un concert de rock atteint les 120 dB. Déterminer pendant combien de temps, exprimé en secondes, on peut l'écouter pour que les normes en vigueur soient respectées :
	\begin{enumerate}
		\item en utilisant l'équation de la droite $\mathcal{D}$ ; 
		\item en utilisant le graphique (laisser apparents les tracés utiles).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\medskip

On injecte à l'instant $t = 0$ une substance dans le sang d'un animal. La concentration $C$ (en mg/L) de la substance injectée varie en fonction du temps $t$ exprimé en heures suivant la relation :

\[C(t) = 8\left(\text{e}^{-t} - \text{e}^{-2t}\right).\]

On définit ainsi une fonction $C$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $C$ dans un repère orthogonal \Oij.

Unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses
\item 5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $C$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote ? Si oui, préciser son équation.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $C'$ de $C$. Montrer qu'elle vérifie $C'(t) = 8\text{e}^{-2t}\left(2 - e\text{e}^t\right)$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ l'équation $C'(t) = 0$. Calculer la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
		\item Étudier le signe de $C'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $C$. Montrer que la valeur maximale de la concentration est 2.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Recopier puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous, en arrondissant les valeurs de $C( t)$ à $10^{-2}$ près.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en heures)	& 0 &0,25	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3	&4 	&5\\ \hline
$C(t)$			&	&		&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la tangente $T$ en précisant les coordonnées des deux points qui permettent son tracé. 
		\item Construire dans le même repère la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle [0~;~5].
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration retombe à la moitié de sa valeur maximale, en faisant figurer les tracés utiles.

Donner le résultat en heures et minutes en arrondissant à la minute la plus proche.
\end{enumerate}
\end{document} 