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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STL 
Biochimie-Génie biologique \decofourright\\[4pt]Métropole  septembre 2007}} 
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,4cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip
 
Un laboratoire universitaire compte 120~chercheurs, dont 25\,\% de physiciens, 30\,\% de chimistes, les autres étant des biologistes.
 
On dénombre parmi les physiciens 12~femmes, et parmi les chimistes 21~hommes. On sait, de plus, qu'il y a en tout 50~femmes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Physiciens 	&Chimistes 	&Biologistes 	&Total\\ \hline 
Femmes 	&				&		&		&  \\ \hline
Hommes 	&				&		&		&  \\ \hline 
Total 	&				&		&		&120  \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans quelle spécialité y-a-t-il proportionnellement le plus de femmes ? (On justifiera en calculant dans chaque catégorie le pourcentage de femmes) 
\item  On questionne, au hasard, une des personnes du laboratoire. Soit les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og La personne interrogée est une femme \fg{} ; 
\item[] $B$ : \og La personne interrogée est biologiste \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$. 
\item Définir par une phrase chacun des évènements suivants : $A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A} \cap \overline{B}$, puis calculer sa probabilité. 
\item On prend, au hasard, une personne parmi les hommes ; calculer la probabilité de l'évènement $C$ : \og La personne choisie est biologiste \fg. 

(Les résultats aux questions 3, 4 et 5 seront donnés sous forme de fractions irréductibles.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

À la suite d'un accident nucléaire, on relève, à chaque heure, avec un appareil de mesure de radioactivité, le nombre $x_{i}$ ($x_{i}$, entier naturel) de particules recueillies en 1~seconde. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$&0	& 1		&2	&3	&4	&5	&6	&7 \\ \hline
$x_{i}$&175 &105 	&60 &42 &25 &15 &10 &6\\ \hline
$z_{i}$&	&		&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $z_{i} = \ln \left(x_{i}- 2\right)$. Donner les valeurs de $z_{i}$ arrondies au dixième le plus proche dans le tableau précédent que l'on recopiera. 
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (2~cm pour 1~heure en abscisse, 4~cm pour 1~unité en ordonnée). 
\item Un ajustement linéaire du nuage de points semble-t-il justifié ? 
\item On désigne par $G_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par $G_{2}$ celui des quatre derniers. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$  sur le graphique. 
		\item Montrer que la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ admet pour équation réduite 
		
$z = - 0,53 t + 5,20$. 
		
(On arrondira au centième le plus proche.)
	\end{enumerate} 
\item Donner l'expression de $x$ en fonction de $t$, associée à l'expression réduite ci-dessus. En supposant que cette expression constitue une bonne modélisation, déterminer à partir de quel relevé on obtient une valeur de $x \leqslant  3$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une étude mathématique plus poussée conduit à supposer que la fonction qui à $t$ (exprimé en heures) associe le nombre $x(t)$ est solution de l'équation différentielle : 

\[(\text{E})\quad  :\quad  y' = - 0,53(y- 2). \]

Vérifier que la fonction $x$ définie par $x(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2$ est la solution de (E) telle que $x(0) = 175$.

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 173\text{e}^{- 0,53t} + 2.\]

Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2~cm en abscisse, 1~mm en ordonnée).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
 
\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Donner le tableau de variations de $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les résultats au dixième le plus proche :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&1	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Construire $\mathcal{C}$ et la droite $D$ d'équation $y = 2$. 
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(t) \leqslant  30$.

(On laissera apparents les tracés utiles.) 
\end{enumerate}
\end{document}