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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 
Biochimie-Génie biologique \decofourright\\[4pt]Métropole  septembre 2006}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}
\begin{center}
\textbf{Les deux parties sont indépendantes}
\end{center}

Une population de bactéries diminue en fonction du temps sous l'effet d'un antiseptique. On va chercher à modéliser l'évolution de cette population à l'aide de résultats expérimentaux obtenus ci-dessous. Le temps $t$ est donné en minutes, $N(t)$ est le nombre de bactéries à l'instant $t$ et $N'(t)$ est la vitesse de variation  de cette population à la date $t$, c'est en fait la dérivée de $N(t)$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0				&2				&4			   &6		 &8			&10\\ \hline
$N(t)$	&\np{12000}		&\np{8000}		&\np{5400}	   &\np{3600}&\np{2500}	&\np{1650} \\ \hline
$N'(t)$	&$- \np{2400}$	&$- \np{1600}$	&$- \np{1070}$ &$- 730$  &$- 480$ 	&$- 340$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer à chaque date $t$ le rapport $\dfrac{N'(t)}{N(t)}$ à $0,001$ près. Calculer la moyenne arithmétique des résultats obtenus.
\item Résoudre l'équation différentielle $N'(t) = - 0,2N(t)$ sachant que $N(0) = \np{12000}$.
\item Estimer la population au bout de 15 minutes, en utilisant ce modèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le tableau initial, reproduire et compléter ce tableau dans lequel la fonction logarithme népérien (on donnera les valeurs arrondies à $0,01$) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$										&0	&2	&4&6	&8	&10\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(N\left(t_{i}\right)\right)$&9,39	&	&	&	&&7,41\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Représenter graphiquement le nuage de points correspondant $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ (unités : $1$~cm pour $1$~minute en abscisse et $1$~cm pour $1$~unité en ordonnée).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On appelle G le point moyen des trois premiers points et G$'$ le point moyen des trois derniers. Calculer à $0,01$ près les coordonnées de G et G$'$.
		\item Placer G et G$'$ sur le graphique et tracer la droite (GG$'$).
		\item Trouver par le calcul, l'équation de la droite (GG$'$), en arrondissant à $0,01$ près les résultats.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire, en utilisant le modèle d'estimation donné dans le 3. c., que $N(t) = \text{e}^{-0,2t}\text{e}^{9,39}$.
		\item  Estimer la population au bout de $15$~minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}		

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

Vers 1840, Verhulst propose un modèle d'évolution d'une population de bactéries en culture. Il suppose que la population ne peut dépasser une certaine valeur maximale.

On note $f(t)$ le pourcentage de cette valeur maximale à l'instant $t$. On suppose que $f(0) = 1$ et, pour une certaine population, on obtient que

 \[f(t) = \dfrac{100}{1+99\text{e}^{-0,6t}},\] 
 
où $t$ est exprimé en heures.

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$.
  
\begin{center}
\psset{xunit=0.666cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(18,110)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=20]{->}(0,0)(18,110)
\psplot[plotpoints=1500,linecolor=blue]{0}{18}{100 2.71828 x 0.6 mul neg exp 99 mul 1 add div}
\uput[u](17,0){$t$ (heures)} \uput[l](0,105){\%}
\uput[u](8,57){$(\blue \mathcal{C})$}
\psline(0,100)(18,100)
\end{pspicture}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A :} Les questions sont résolues par lecture graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner le pourcentage du maximum de la population à la date $t  = 10$.
\item  Quelle est la limite de $f(t)$ en $+ \infty$ ?
\item  À quel instant $t$, à $0,1$ près, la population atteint-elle $50$\:\% de son maximum ?
\item  Quel est le signe de $f(t)$ ?
\item  À quelle date la croissance de la population, est-elle la plus rapide, à la date $t =  2$ ou à la date $t = 10$ ? Expliquer.
\end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B :} Les questions sont résolues par le calcul.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer à $0,1$\:\% près le pourcentage de la population à la date $t = 10$.
\item  Quelle est la limite de $f(t)$ en $+ \infty$ ? Que peut-on en déduire ?
\item  À quel instant $t$ la population atteint-elle $50$\:\% de son maximum (à $0,01$ près) ?
		
\item  Prouver que la dérivée de $f$ est
 
\[f'(t) = \dfrac{5940\text{e}^{-0,6t}}{\left(1 +99\text{e}^{-0,6t}\right)^2}.\]

En déduire le signe de $f'(t)$.
\item  Trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $10$ (le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine étant donnés à $0,1$ près).
\end{enumerate}
\end{document}