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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL  Biochimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie Métropole 14 septembre 2010~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous décrit l'évolution de la capacité mondiale de production d'électricité des éoliennes, depuis l'année 2000, en mégawatts (MW).

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline 
Production en mégawatts $y_{i}$&\np{16700} &\np{23600} &\np{29700} &\np{38700} &\np{46400} &\np{56000} &\np{72200} &\np{90000} &\np{120600}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant, où $\ln \left(y_{i}\right)$ désigne le logarithme népérien de $y_{i}$.

\medskip
 
Les valeurs seront arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
En ce qui concerne le graphique, on prendra pour origine le point de coordonnées $(0~;~9)$ et pour unités : 1~cm pour 1 année en abscisse et 5~cm pour 1 unité en ordonnée.

\medskip
 
\item On désigne par $G_{1}$ le point moyen des cinq premiers points du nuage et $G_{2}$ le point moyen des quatre derniers. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$ et placer ces points sur le graphique. 
		\item Tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ et déterminer son équation sous la forme 
		
$z = ax + b$. Les valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.
		 
On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points.
	\end{enumerate} 
\item  	En utilisant l'ajustement réalisé à la question précédente : 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, la capacité de production, exprimée en mégawatts, des éoliennes en 2012. On donnera une valeur arrondie au millier de mégawatts près. 
		\item Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, en quelle année la capacité pourrait atteindre \np{230000}~mégawatts. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

On étudie l'évolution d'une population de rongeurs limitée par un prédateur, en fonction du temps $t$. On admet que la taille de la population, exprimée en centaines d'individus, est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[ f(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\text{e}^{0,5t} + 2},\]
 
où $t$ représente le temps écoulé depuis l'an 2000, exprimé en années (donc $t = 0$ en l'an 2000).
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat. 
		\item Montrer que : 

\[f(t) = 3 - \dfrac{6}{\text{e}^{0,5t} + 2}.\]

		\item  En déduire la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
		 
Que peut-on en déduire sur l'évolution à long terme de cette population ?
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ vérifie, sur $[0~;~+ \infty[$ :
		 
\[f'(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2}\]
 
		\item  Étudier le signe de $f'(t)$, puis établir le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs numériques ci-dessous. 
On arrondira les valeurs à $10^{-2}$ près.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&  0& 2 & 4 & 6 & 8 &10\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
 
1~cm pour 1~année en abscisse, et 5~cm pour une centaine d'individus en ordonnée. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer en quelle année la population de rongeurs dépassera 250~individus. 
\end{enumerate}
\end{document}