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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}\lfoot{\small{Polynésie}}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie  juin 2007}~\decofourright\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

On lâche une balle à une hauteur de 1 mètre. Celle-ci effectue alors plusieurs rebonds sur le sol avant de s'immobiliser. On note la hauteur (exprimée en centimètres) par rapport au sol de chaque rebond.

Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus :

\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro du rebond : $n_{i}$	&1	&2	&3	&4&5&6&7	&8\\ \hline
Hauteur du rebond : $h_{i}$	&55	&30	&17	&9&5&3&1,5	&0,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer le nuage de points $M_{i}\left(n_{i},~h_{i}\right)$. Un ajustement affine paraît-il justifié ?

\medskip

\textbf{Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs numériques seront arrondies au dixième.}

\medskip

\item  Recopier et compléter le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_{i}$							&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&	8\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(h_{i}\right)$&4,0& 	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Tracer dans un repère orthonormé (unité graphique : 2~cm) le nuage de points	$P_{i}\left(n_{i}~;~y_{i}\right)$. Un ajustement affine paraît-il justifié ?
\item  Recherche d'un ajustement affine
	\begin{enumerate}
		\item  On note G$_{1}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points $P_{1},~ P_{2},~ P_{3}$ et $P_{4}$ et G$_{2}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points $P_{5},~ P_{6},~ P_{7}$ et $P_{8}$. Déterminer les coordonnées des points G$_{1}$ et G$_{2}$.
		\item  Placer les points G$_{1}$ et G$_{2}$ sur le graphique et construire la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$.
		\item  Lire graphiquement sur le graphique l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ (mettre en évidence sur le graphique les éléments qui ont permis cette lecture).
	\end{enumerate}
\item  En utilisant le résultat de la question 4 c, exprimer, en fonction de son numéro $n$, la hauteur estimée du $n$-ième rebond.
\item  À partir de quel rebond, la hauteur estimée de celui-ci est-elle inférieure à un millimètre ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1 :  lecture graphique}

\medskip

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et sa tangente au point d'abscisse 2.

\psset{unit=1.333cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(8.5,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(-0.5,-5)(8.4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-5)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{8}{x ln x 2 add ln sub 2 x mul 3 div sub 4 add}
\psline{<->}(0.5,2.6)(3.5,1.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Déterminer, à l'aide de lectures graphiques, en justifiant par une phrase chaque réponse:

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f(3)$ et $f(4,5)$ ; 
\item  le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ puis une valeur approchée de chacune d'elles ; 
\item  l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant  1$ ; 
\item  $f'(2)$, nombre dérivé de $f$ en 2 ; 
\item  le nombre de solution(s) de l'équation $f'(x) = 0$ puis une valeur approchée de chacune d'elle(s) ; 
\item  l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$ ; 
\item  une estimation de $f'(5)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 : étude d'une fonction}

\medskip

On admet que la fonction $f$ représentée dans la partie 1 est définie par

\[f(x) = \ln (x) - \ln (x + 2) -- \dfrac{2}{3}x + 4.\]
\begin{enumerate}
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x > 0} f(x)$. Que peut-on en déduire ?
\item  Déterminer	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{x}{x + 2}\right)$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item  $p$ est la fonction définie sur $\R$ par	$p(x) = x^2 + 2x - 3$. Étudier le signe de $p(x)$.
\item  Calculer $f'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \dfrac{-2 p(x)}{3 x(x + 2)}$.
\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~  +\infty [$. En déduire le sens de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{document}