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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie  juin 2009~\decofourright}\\[4pt]\textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 11 points}

\medskip

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. 

\medskip

On a relevé à un moment donné le taux de cholestérol (exprimé en grammes par litre de sang) et l'âge (exprimé en année) d'un échantillon de la population d'une région. 

\medskip

Les résultats sont consignés dans le tableau d'effectifs à double entrée ci-dessous. 

On peut lire par exemple, que dans l'échantillon considéré il y a 8 individus entre 50 et 60~ans qui ont un taux de cholestérol compris entre 2,0 et 2,2~g/l.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\backslashbox{taux}{âge}& [20~;~30[ &[30~;~40[ &[40~;~50[ &[50~;~60[ &[60~;~70[ &70 et plus&Totaux\\ \hline 
[1,6~;~1,8[ &23 &15 &12 &9 	&5 	&4 	&68 	\\ \hline
[1,8~;~2,0[ &14 &13 &11	&9 	&7 	&5 	&59          \\ \hline 
[2,0~;~2,2[	& 4 &9 	&7 	&8 	&10 &7 	&45 		\\ \hline 
[2,2~;~2,4[ &0 	&3 	&5 	&5 	&8 	&9 	&30 		\\ \hline 
[2,4~;~2,6[ &1 	&2 	&3 	&3 	&4 	&5 	&18 		\\ \hline 
Totaux		&42	&42 &38 &34 &14 &30 &220 	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux moyen de cholestérol, arrondi à $10^{-2}$ près,  des individus de la classe d'âge [20~;~30[.
 
\item On affirme que plus de 60\,\% des individus de l'échantillon ont un taux de cholestérol appartenant à l'intervalle [1,8~;~2,4[. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse maintenant à un nouveau tableau dans lequel figure le taux moyen de cholestérol par tranche d'âge (on a remplacé les intervalles par leur centre). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
âge			& 25	&35 	&45 	&55 	&65 	&75	\\ \hline 
Taux moyen	& 1,82	&1,93 	&1,98 	&2,01	&2,09 	&2,14 	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter par un nuage de points cette nouvelle série statistique.
 
On utilisera un repère orthogonal dans lequel les âges seront portés en abscisses (unité  : 2~cm pour 10~ans) et le taux de cholestérol en ordonnées (unité graphique :  5~cm). 
	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $G_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage et $G_{2}$ celui des trois derniers. 
		
Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique.

\medskip
 
Dans la suite de cette partie. on admet que cette droite donne une approximation satisfaisante de l'évolution du taux moyen de cholestérol en fonction de l'âge.

		\item Déterminer graphiquement en faisant apparaître les constructions utiles, une valeur approchée du taux moyen de cholestérol d'un individu de 51~ans. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sous la forme $y = m x + p$  (on donnera $m$ à $10^{-4}$ près et $p$ à $10^{-2}$ près). Retrouver par le calcul le résultat de la question 2. b. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Une des 220 personnes de l'échantillon se présente pour prendre connaissance de son taux de cholestérol. On suppose, pour une raison ou une autre, qu'il est impossible de deviner son âge et encore moins de deviner son taux de cholestérol. 

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité que son taux de cholestérol soit inférieur strictement à 2,2~g/l.
\item  Déterminer la probabilité que son âge, au moment des relevés,  soit dans la tranche [30~;~50[.

(On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip

On étudie l'évolution d'une colonie de bactéries placées dans une boîte de Petri. Le nombre de bactéries en centaines est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = \dfrac{4\text{e}^t - 1}{\text{e}^t  + 2}\]

où $t$ représente le temps en heures. On suppose que l'on peut compter le 
nombre de bactéries à l'unité près grâce à un compteur de radioactivité. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat. 
		\item Montrer que $f(t) = 4 + \dfrac{-9}{\text{e}^t  + 2}$. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. On appellera cette valeur la saturation. Que peut-on en conclure pour la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de $f$ ? 
		\item L'équation $f(t) = 4$ admet-elle des solutions ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ vérifie $f'(t) = \dfrac{9\text{e}^t}{\left(\text{e}^t + 2 \right)^2}$.
		\item En déduire le tableau de signes de $f'(t)$ puis le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item  Soit (T) la tangente au point d'abscisse $0$ à la courbe $(\mathcal{C})$. Déterminer l'équation de (T). 
\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en arrondissant à $10^{-2}$ près : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$	&0	&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7	\\ \hline
$f(t)$	&	&2,09	&	&	&	&	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Tracer, dans un repère orthonormé d'unité graphique 2~cm, la droite (T), la courbe $(\mathcal{C})$ ainsi qu'en les précisant la (ou les) asymptote(s) éventuelles(s) à $(\mathcal{C})$. 
\item  Calculer à la minute près l'instant $t_{0}$ où le nombre de bactéries sera égal à 200. 
\item  Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la population de cette colonie dépassera 80\,\% de sa saturation.

(\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}) 
\end{enumerate}
\end{document}