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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie 10 juin 2011~\decofourright}\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Un institut de surveillance sanitaire a publié pendant un an des bulletins hebdomadaires relatifs à l'épidémie du chikungunya sur l'île de La Réunion.
 
Le tableau ci-dessous indique le nombre $n$ estimé de personnes nouvellement contaminées par semaine entre le 13 février et le 2 avril 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Numéro de la semaine $x_{i}$&7 			&8 			&9 			&10 		&11 	  &12 &13\\ \hline 
Nombre de personnes $n_{i}$ 
nouvellement contaminées	&\np{23850} &\np{16650} &\np{11620} &\np{8100} 	&\np{5660} &\np{3950} &\np{2750}\\ \hline
\end{tabularx} 
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tracé du nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~n_{i}\right)$ montre qu'un ajustement affine n'est pas judicieux. On choisit un changement de variable 

$y_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$ pour obtenir un ajustement affine convenable.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Numéro de la semaine $x_{i}$& 7 &8 	&9 	&10 &11 &12 	&13\\ \hline  
$y_{i}$						&	&	&	&	&	&8,28	&\\ \hline 
\end{tabularx} 
 
\medskip 
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier en le complétant le tableau ci-dessus en donnant les résultats arrondis à $0,01$ près. 
		\item Représenter le nuage de points $N_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. On prendra comme unités : 1~cm pour 1~semaine en abscisse et 4~cm pour 1 en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées $(0~;~6)$.
	\end{enumerate} 
\item  On appelle $G$ le point moyen du nuage obtenu. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G$. Placer ce point sur le graphique. 
		\item On choisit de prendre comme ajustement affine la droite passant par $G$ et le point $N_{6}(12~;~8,28)$.
		 
Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y = m x + p$.
	\end{enumerate} 
\item  En utilisant l'équation obtenue à la question 2. b. : 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de personnes nouvellement contaminées la semaine numéro 15.
		
En réalité le nombre de personnes nouvellement contaminées s'élève à \np{1500} : que pensez vous de l'ajustement ? Quel est le pourcentage d'erreur ? 
		\item Déterminer à partir de quelle semaine, le nombre $n$ de personnes nouvellement contaminées sera inférieur ou égal à \np{1000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Au mois de mars 2006, l'île de la Réunion compte \np{780000}~habitants dont 30\,\% sont contaminés par le chikungunya. Dans cette population les personnes de moins de 25 ans représentent 40\,\% et parmi elles 12,5\,\% sont contaminés. Les personnes âgées de 25 à 55 ans représentent également 40\,\% mais elles sont trois fois plus contaminées. 

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous sans justifier les réponses :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{4}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline   
Âge								& moins de 25 ans	& de 25 à 55 ans& plus de 55 ans &Total\\ \hline 
Nombre de personnes non contaminées&				&			&				&\\ \hline 
Nombre de personnes contaminées	&					&			&				&\\ \hline 
Total							&					&			&				&\np{780000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item On choisit au hasard un habitant. On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og La personne est contaminée \fg. 

$B$ : \og La personne a plus de 55 ans \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A~\cup~B$.
	\end{enumerate} 
\item  On choisit au hasard une personne de plus de 55 ans. Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[y' = \left(-\dfrac{1}{3} \ln 2\right)y \quad (1)\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ cette équation. 
\item Déterminer la fonction $f$ solution de (1) qui vérifie la condition initiale 

$f(0) = 5$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[F(t) = 5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t}.\]
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$	est tracée sur le document en annexe \textbf{que vous devrez rendre avec votre copie}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $F(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ? En donner une interprétation graphique. 
\item Soit $F'$ la fonction dérivée de $F$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $F'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$	au point d'abscisse $0$. La tracer dans le repère en annexe. 
	\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[,\, F(t + 3) = \dfrac{1}{2}F(t) \quad (2)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Le nombre de cellules, exprimé en millions, d'une culture cellulaire soumise à une expérimentation est modélisé, en fonction du temps, par la fonction $F$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment interpréter l'égalité (2) de la question B. 3. ? 
\item Déterminer l'instant $t$ (en heures et minutes) où le nombre de cellules n'est plus que de \np{750000}. 
\item Retrouver graphiquement le résultat en faisant apparaître les tracés utiles.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
\textbf{Annexe}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.6667cm,yunit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16.5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16.5,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(17,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
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\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](15.5,-0.25){$t$ en heures}\uput[r](0,5.65){$y = F(t)$}
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}