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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL Biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole Biotechnologies ~\decofourright\\[4pt]12 septembre 2013}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip
 
Monsieur Durand est embauché le 1\up{er} janvier 2012. Son salaire mensuel est de \np{1300}~euros en 2012, puis il augmentera de 1,7\,\% chaque année.
 
Madame Martin est embauchée à la même date. Son salaire mensuel est de \np{1150}~euros en 2012, puis il augmentera de 2,3\,\% chaque année.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ le salaire mensuel de Monsieur Durand au cours de l'année 
$2012+n$ et $b_{n}$ celui de Madame Martin au cours de l'année $2012+n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ ; en déduire la nature de la suite $\left(a_{n}\right)$.
		\item Déterminer l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$.
 	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'expression de $b_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Pour répondre à une question concernant le salaire de Monsieur Durand, un élève propose l'algorithme ci -dessous : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$B$ prend la valeur \np{1300}\\
$N$ prend la valeur 0\\
Tant que $B \leqslant \np{1400}$\\ 
\qquad Remplacer $N$ par $N+ 1$\\
\qquad Remplacer $B$ par $B \times 1,017$\\
Fin Tant que\\ 
Afficher $N + 2012$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme. 
		\item Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un algorithme permettant de déterminer l'année où le salaire mensuel de Madame Martin dépassera \np{1500}~euros. 
		\item À partir de quelle année le salaire mensuel de Madame Martin dépassera-t-il \np{1500}~euros ?
	\end{enumerate} 
\item À partir de quelle année le salaire mensuel de Madame Martin dépassera-t-il celui de Monsieur Durand ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}   

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le tableau suivant donne la tension artérielle (systolique) moyenne $y_{i}$ d'une population d'hommes à différents âges $x_{i}$ :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\^Age $x_{i}$ en années& 25 &40 &50 &60 &70\\ \hline 
Tension artérielle moyenne $y_{i}$ en mm de mercure&118,2 &124,3 &131,9 &136,5 &142,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. L'axe des ordonnées sera gradué à partir de $100$ et on prendra pour unités : 2 cm pour 10 ans sur l'axe des abscisses ; 2 cm pour 10~mm de mercure sur l'axe des ordonnées. 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$ près). 

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on prendra pour équation de la droite $D :\:  y = 0,55 x + 103,75$. 
\item Tracer la droite $D$ sur le graphique précédent. 
\item Avec ce modèle d'ajustement, estimer graphiquement, en laissant apparents les traits de construction, la tension artérielle moyenne d'un homme de $75$~ans. 
\item Avec ce modèle d'ajustement, déterminer algébriquement à partir de quel âge un homme a une tension artérielle moyenne supérieure à $150$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans la population étudiée en partie A, 30\,\% des hommes souffrent d'hypertension artérielle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère 200 hommes pris au hasard dans cette population et on mesure leur tension artérielle moyenne. La population est suffisamment importante pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise. 

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'hommes souffrant d'hypertension.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
\item On décide d'approcher la variable aléatoire donnant le nombre des hommes souffrant d'hypertension artérielle dans le prélèvement par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart type $6,5$.
 
Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$ près, que dans ce groupe de $200$ ~hommes : 
	\begin{enumerate}
		\item entre $47$ et $73$ individus souffrent d'hypertension ; 
		\item plus de $73$ individus souffrent d'hypertension.
	\end{enumerate} 
\item Un médecin constate que, parmi $100$ hommes en surpoids choisis au hasard dans cette population, $42$ souffrent d'hypertension. 

Peut-il considérer que cette proportion d'hommes hypertendus est conforme à celle de la population masculine étudiée ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}   

\medskip
 
La conservation d'une variété de fruits nécessite de les placer, après la récolte et avant le stockage, dans un tunnel refroidissant à air pulsé.
 
On s'intéresse à l'évolution de la température du fruit en fonction du temps.
 
À l'instant $t = 0$, les fruits, dont la température est de 24~\degres C, sont placés dans le tunnel où l'air pulsé est à 2~\degres C.
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ qui à tout instant $t$, exprimé en heures, associe la température d'un fruit, exprimée en ~\degres C. 

On admet que $f$ est la solution de l'équation différentielle : 

\[y'+ 0,61y = 1,22\quad  \text{vérifiant}\quad  f(0) = 24.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle 

\[y'+ 0,61y = 1,22\]

où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire que pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$, $f(t) = 2 + 22\text{e}^{- 0,61t}$.
 
La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}$, est donnée en annexe. 
\item Calculer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. 

Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(t)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement en faisant apparaître les traits de construction utiles : 
	\begin{enumerate}
		\item la température d'un fruit au bout de 4 heures ; 
		\item au bout de combien de temps la température d'un fruit aura diminué de moitié par rapport à la température initiale.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = 2t - \dfrac{\np{2200}}{61} \text{e}^{- 0,61t}$ est une  primitive  de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire $I = \displaystyle\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t$ (valeurs exacte puis approchée au centième). 
		\item On admet que la température moyenne d'un fruit durant les 6 premières heures est $\dfrac{I}{6}$.
		 
Déterminer cette température moyenne au dixième de degré près.
	\end{enumerate} 
\item On considère que la vitesse de refroidissement est satisfaisante lorsque la température d'un fruit baisse de $\dfrac{7}{8}$ en moins de $6$~heures. Peut-on considérer que la vitesse de refroidissement est satisfaisante ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\begin{flushleft}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

Représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 2 + 22\text{e}^{- 0,61t}$.
\end{flushleft}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(15.5,24)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,24)}
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(15.5,24)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(0,0)(15.5,24)
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\uput[u](14,0){$t$ en heures}
\uput[r](0,24.5){température en \degres C}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}