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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL Biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STL Métropole Biotechnologies 20 juin 2013~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

%\begin{center} 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante  dans l'appréciation des copies.

%\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   


\medskip
    
Le responsable d'un site de compostage fait un bilan de l'évolution des quantités de déchets compostés 	dans son entreprise. 	
	
Il constate qu'en 2002, sur le site, \np{5900} tonnes de déchets ont été traitées et qu'ensuite les quantités 
traitées augmentent régulièrement de 15\,\% par an. 

On admet que la progression se poursuivra au même rythme jusqu'en 2020.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en tonnes, de déchets traités durant l'année 2002 + $n$ . On 
aura ainsi $u_0 = \np{5900}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature, le premier terme et la raison de la suite $\left(u_n\right)$. 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la quantité de déchets traités en 2006. Arrondir à l'unité près. 
\item Déterminer à partir de quelle année la quantité de déchets traités dépassera les \np{20000} tonnes. 
Justifier votre réponse. 
\item Calculer la quantité totale de déchets traités depuis le début de l'année 2002 jusqu'à la fin de 
l'année 2020. Arrondir à l'unité près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   
    
\medskip

On introduit un inoculum bactérien dans un bioréacteur contenant un milieu de culture. 
On mesure la population bactérienne toutes les heures à partir de la troisième heure. 
Le tableau suivant donne le résultat de ces mesures. 
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.5cm}|*{7}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en heures 	  &3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 \\\hline 			Nombre $N_i$ de bactéries &$1,09\times 10^5$&$2,68\times10^5$ &$7,31\times10^5$&$2,2\times10^6 $	&$6,93\times10^6$ &$1,79\times10^7$ &$5,12\times10^7$ \\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, les valeurs étant arrondies à $10^{-2}$ près. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.2cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}p{1cm} |}}
\hline
Temps $t_i$ en heures	&3 &	4& 	5 &	6 &	7 &	8& 	9 \\
 	\hline						
$y_i= \ln (N_i)$ &11,60&&&& 				15,75 &&	\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

	
\item Tracer dans le repère orthonormé donné en annexe, page \pageref{papier}, le nuage de points M$_i\left(t_i~;~y_i\right)$ en prenant comme unité 1~cm sur chaque axe. 
\item 	Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $t$ par la 
méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$ près. 

Tracer cette droite dans le repère précédent. 
\item On suppose que l'évolution du nombre de bactéries se poursuit suivant le même modèle jusqu'à ce que les éléments nutritifs commencent à manquer. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à $10^6$ près, le nombre de bactéries dans le bioréacteur au bout de 11 heures. 
\item Les éléments nutritifs commencent à manquer dès que le nombre de bactéries atteint $3 \times 10^9$. 

À quel moment cela se produit-il ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip
 
Une société fabrique des tubes à essai. 
 
Une étude a montré que la probabilité pour un tube, pris au hasard dans la production, de présenter un défaut est égale à 0,03. 

On suppose la production suffisamment importante pour assimiler chaque prélèvement à un tirage avec remise. 

\smallskip

Les deux questions suivantes sont indépendantes.
 
\smallskip

\emph{Dans cet exercice, toutes les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On prélève 10 tubes dans la production. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de 
tubes défectueux dans le prélèvement. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,03. 
		\item Déterminer la probabilité $P(X = 1)$. 
		\item Déterminer la probabilité que, parmi les $10$ tubes, un tube au moins présente un défaut. 
	\end{enumerate}
\item On prélève $300$ tubes dans la production. 
	On décide d'approcher la variable aléatoire donnant le nombre de tubes défectueux dans le 	prélèvement par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $9$ et d'écart type $3$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que le prélèvement contienne entre 6 et 12 tubes défectueux. 
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de tubes défectueux pour un échantillon de taille 300. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$ près. 
		\item Le responsable qualité veut vérifier la production. Pour cela, il prélève un échantillon de $300$ tubes.
		
Dans cet échantillon, 14 tubes sont défectueux. Doit-il faire procéder à un réglage des machines  ? Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}   
    
\begin{center}
\textbf{Partie A : Lecture graphique}
\end{center}

La courbe $C_f $ tracée ci-dessous est la représentation graphique sur $[0~;~4]$ d'une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$.

 \medskip
 
On admet que: 

\begin{description}
\item[] La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en $\dfrac{1}{2}$. 
\item[] La tangente T à la courbe $C_f$ au point A $(0~,~-1)$ passe par le point B $(1~,~2)$. 
\item[]La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$ est parallèle à l'axe des abscisses. 
\end{description}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(4.5,3)

\multido{\n=-0.5+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2.7)}
\multido{\n=-1+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](-0.6,\n)(4.3,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1.5)(4.4,2.8)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(4.4,2.8)
\psdots[dotstyle=Bo,dotscale=1.2](0,-1)(1.5,0.44626)(0.5,0)(1,2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{4}{x 2 mul 1 sub 2.71828 x neg exp mul}
\psline[linecolor=blue,linewidth=0.45pt,linestyle=dashed](-0.6,0.44626)(4.3,0.44626)
\psplot[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-0.1}{1.25}{x 3 mul 1 sub }
\uput[r](1,2){B}\uput[r](0,-1){A}\uput[ur](1,2.5){T}\uput[u](3.6,0.1){\blue $C_f$}\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~,~4]$. 
\item Déterminer les valeurs de $f'(0)$ et de $f^\prime \left(\dfrac{3}{2}\right)$. 
\end{enumerate}
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B : Étude de la fonction }
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = (2x - 1) \e^{-x} .\]
 
\begin{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\e^{-x} = 0$. Déterminer $\displaystyle \lim _{x \to +\infty}f(x)$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ ? 
	\end{enumerate}
\item La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f'(x) = (3 - 2x)\e^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~+\infty[$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}
\end{center}

On donne ci-dessous les tableaux de variation et des tableaux de valeurs de trois fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ : $F_1,\ F_2$ et $F_3$.

\medskip
\begin{minipage}{9cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(0,0)(7.5,2.7)\psline(0,1.7)(7.5,1.7)\psline(1,0)(1,2.7)
\rput(0.5,2.2){$x$}\rput(1.3,2.2){0}\rput(7.1,2.2){$+\infty$}
\rput(4.3,2.2){$\dfrac{3}{2}$}\rput(0.5,1){$F_1(x)$} \rput(1.3,1.5){3}\rput(7.1,1.5){$+\infty$}
\rput(4.3,0.425){$\dfrac{-2}{\sqrt{\e}}$}
\psline{->}(1.6,1.4)(3.9,0.5)\psline{->}(4.65,0.5)(6.8,1.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
$x$&0&$\frac{1}{2}$&$\frac{3}{2}$&2\\
\hline
$F_1(x)$&3&0&$\frac{-2}{\sqrt{\e}}$&$\frac{1}{\e^2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}


\medskip
\begin{minipage}{8.5cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(0,0)(7.5,2.7)\psline(0,1.7)(7.5,1.7)\psline(1,0)(1,2.7)
\rput(0.5,2.2){$x$}\rput(1.3,2.2){0}\rput(7.1,2.2){$+\infty$}
\rput(4.3,2.2){$\dfrac{1}{2}$}\rput(0.5,1){$F_2(x)$} \rput(1.3,1.5){$-1$}\rput(7.1,1.5){$0$}
\rput(4.3,0.425){$\dfrac{-2}{\sqrt{\e}}$}
\psline{->}(1.6,1.4)(3.9,0.5)\psline{->}(4.65,0.5)(6.8,1.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{5.5cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
$x$&0&$\frac{1}{2}$&$\frac{3}{2}$&2\\
\hline
$F_2(x)$&$-1$&$\frac{-2}{\sqrt{\e}}$&$-4\e^{\scriptstyle-\frac{3}{2}}$&$-\frac{5}{\e^2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\medskip
\begin{minipage}{9cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(0,0)(7.5,2.7)\psline(0,1.7)(7.5,1.7)\psline(1,0)(1,2.7)
\rput(0.5,2.2){$x$}\rput(1.3,2.2){0}\rput(7.1,2.2){$+\infty$}
\rput(4.3,2.2){$\dfrac{1}{2}$}\rput(0.5,1){$F_3(x)$} \rput(1.3,0.3){$\frac{3}{2}$}\rput(7.1,0.3){$-\infty$}
\rput(4.3,1.5){$\sqrt{\e}$}
\psline{->}(1.6,0.4)(3.9,1.5)\psline{->}(4.65,1.5)(6.8,0.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
$x$&0&$\frac{1}{2}$&$\frac{3}{2}$&2\\
\hline
$F_3(x)$&$\frac{3}{2}$&$\sqrt{\e}$&0&$-\frac{\e^2}{2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item  Une de ces fonctions est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ . Laquelle ? Justifier votre choix. 
\item  À l'aide de cette fonction, calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $C_f$, les droites d'équation $x = \dfrac{1}{2} $et $x = 2$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\newpage

\newgeometry{left=1cm, right=1cm, top=1.3cm, bottom=2.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hspace{3cm}Annexe( à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(17,24)

\multido{\n=0+0.5}{35}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,24)}
\multido{\n=0+0.5}{49}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt](17,24)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{papier}
\end{document}