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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  juin 2008 Antilles--Guyane~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).

On considère trois points A, B et C d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 6\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}\quad ;\quad  	z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{2}}\quad ;  \quad z_{\text{C}} = 5\sqrt{3} - 5\text{i}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $z_{\text{A}} =3\sqrt{3} + 3\text{i}$  et écrire   $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. 
\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{C}}$. 
\item Placer les points A, B et C sur une figure. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Quelle est la nature du triangle ABC ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère deux  urnes notées respectivement U et V.
 
L'urne U contient trois boules marquées respectivement : 0, 1 et 2.

L'urne V contient quatre boules marquées respectivement : 0, 1, 2 et 3. 
 
Ces boules sont indiscernables au toucher. 
 
Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U puis une boule de l'urne V.
 
On considère que tous les tirages de ces deux boules sont équiprobables. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.		 
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir deux boules portant le même nombre est égale à $\dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V.

Le joueur doit miser 1~\euro.
  
L'organisateur du jeu remet alors au joueur un montant (en \euro) égal au produit des deux nombres figurant sur les deux boules tirées (ce montant peut être nul).
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire positif, nul ou négatif) du joueur.
 
Par exemple, si le joueur tire 2 dans l'urne U, puis 3 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors 5 ; si le joueur tire 0 dans l'urne U, puis 2 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors $- 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer la probabilité que le gain du joueur soit strictement supérieur à 2. 
		\item On note E($X$) l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Calculer E($X$).

On dit qu'un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle. Ce jeu est-il équitable ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels  par 

\[f(x) = \left(- x + \dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2x}\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un  repère orthonormal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\bigskip
 
\textbf{Partie I}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \left(- x\text{e}^x + \dfrac{7}{4}\text{e}^x\right)\text{e}^x$.		 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote une droite $\mathcal{D}$. Donner une équation de cette droite $\mathcal{D}$. 
		\item Calculer $f\left(\dfrac{7}{4}\right)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la  fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) =  \left(- 2x + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}$. 
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau  de variations de la fonction $f$. On reportera dans ce tableau les limites et la valeur du maximum. 
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
 
Donner le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$.
 
\item Construire la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $F$ la  fonction définie sur $\R$ par 

\[F(x) =  \left(- \dfrac{x}{2} + \dfrac{9}{8}\right)\text{e}^{2x}.\]
 
On note $F'$ la fonction dérivée de la fonction $F$. 

Calculer $F'(x)$.
 
Que peut-on en déduire pour la fonction $F$ ? 
\item On note $\mathcal{D}$ le domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives $x = 0$  et $x = \dfrac{7}{4}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer $\mathcal{D}$ sur le graphique représentant la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. En donner la valeur arrondie au centième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}