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%Sujet aimablement fourni par Éric Triki
%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  juin 2009 Antilles--Guyane \decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,15cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).

On note i le nombre complexe de module 1 et dont $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument. 

\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation : 

\[z^2 + 10z + 29 = 0.\] 

\item On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ définies par 

\[z_{\text{A}} = -5 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = - 3 + 6\text{i},~ z_{\text{C}} =-\overline{z_{\text{A}}}.\]
 
Placer les points A, B et C sur une figure.  
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.
 
Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$ et placer le point D sur la figure précédente. 
\item Calculer le module des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\text{D}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{D}}$. 
\item Montrer que D est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle ABC.
 
Donner la valeur exacte du rayon $r$ du cercle $\mathcal{C}$. Tracer le cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une ville A possède \np{200000}~habitants au 1\up{er} janvier 2009. On considère que cette population diminue de 2\,\% par an.
 
On note $u_{n}$ le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier de l'année ${2009+n}$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_{0} = \np{200000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer l'arrondi à l'unité de $u_{10}$. 
	\end{enumerate}		
\item Une ville B possède \np{120000}~habitants au 1\up{er} janvier 2009.
 
On note $v_{n}$ le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier de l'année $2009 +n$, où $n$ est un entier  naturel. Ainsi, $v_{0} = \np{120000}$.
 
On considère que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} =  \np{120000} \times 1,01^n$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier 2011. 
		\item Déterminer l'arrondi à l'unité de $v_{10}$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
En quelle année la population de la ville B deviendra-t-elle supérieure à celle de la ville A ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{L'annexe associée à ce problème est rendre avec la copie.}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Signe d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = (2x -1)\text{e}^x + 1.\]
 
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur $\R$.
 
On donne, en annexe \no 1 une partie du tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$.
 
On sait que la limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est 1 et que la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est $+ \infty$.

On a de plus $g\left(- \dfrac{1}{2}\right) = - \dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} + 1$.
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide des indications données dans l'énoncé, compléter le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'annexe \no 1. 
\item Calculer la valeur exacte de $g(0)$ et la noter dans le tableau de l'annexe \no 1. 
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left[-2~;~-\dfrac{1}{2}\right]$. 
\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 
\item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = (x -1)\text{e}^{2x} + \text{e}^x.\]
 
En annexe \no 2, on trouve la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm en abscisse et 4~cm en ordonnée).
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item La courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.
 
Que peut-on en déduire pour la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ ? 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
 
Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = g(x) \times \text{e}^x$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le résultat de la question 5 de la partie A, déterminer selon les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item En prenant $\alpha \approx  -1,3$, déterminer une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-1}$ près. 
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 0$ et la droite d'équation $x = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\mathcal{S}$ sur l'annexe \no 2.
		\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par
		 
		\[F(x) = \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x}.\] 
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item On note $\mathcal{A}$ l'aire,  exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis son arrondi à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe \no 1} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.5)
\psframe(10,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(8,1.1)(8,2.5)
\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)
\uput[u](1,2.6){$x$} \uput[u](2.4,2.6){$- \infty$} \uput[u](6,2.5){$- \dfrac{1}{2}$} \uput[u](8,2.6){0} \uput[u](9.5,2.6){$+ \infty$} 
\uput[u](1,2){$g'(x)$}\uput[u](4,2){$-$}\uput[u](6,2){0}\uput[u](9,2){$+$}
\rput(1,1){$g(x)$}
\psline{->}(6.2,0.4)(9.4,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe \no 2} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,2.75)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-0.5)(4,2.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\multido{\n=-4+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,2.75)}
\multido{\n=-0.500+0.125}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-4,\n)(4,\n)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-4}{1}{2.71828 2 x mul exp x 1 sub mul 2.71828 x exp add}
\uput[r](1,2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,2.75){$y$}
\end{pspicture}
\end{document}