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%tapuscrit : Denis Vergès Merci à Roger Queille pour le sujet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{17 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Antilles 17 juin 2010~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de de procédés industriels}} \end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les deux nombres complexes $z$ et $z'$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l}
3z - z'&=&4\sqrt{3}\\ 
z + z' &=& 4\text{i}
\end{array}\right.$. 
\item  On considère les nombres complexes $z_{1},~z_{2},~z_{3}$ donnés par
: 

\[z_{1} =  \sqrt{3} + \text{i}, \quad z_{2} = - \sqrt{3} + 3\text{i}, \quad z_{3} = \dfrac{z_{2}}{z_{1}}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{1},~z_{2},~z_{3}$. 
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{3}$. 
	\end{enumerate} 
\item Le plan complexe est rapporté à un repère \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.
 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$. 
		\item Montrer que OAB est un triangle rectangle. 
		\item Déterminer l'affixe du milieu K du segment [AB]. 
		\item On note C le point d'affixe $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}z_{3}$.
		
Démontrer que les points O, A, B et C appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
 
On estime que les émissions mondiales de CO$_{2}$ se sont élevées en l'an 2000 à 6,8~ milliards de tonnes, et que, depuis, l'augmentation de ces émissions est chaque année de 3\:\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $E_{0}$ la quantité de CO$_{2}$ émise en l'an 2000 et, pour $n$ entier naturel, $E_{n}$ la quantité émise en  l'an $2000 + n$. Justifier que, selon le modèle envisagé, on peut estimer $E_{n}$ par l'égalité : 

\[E_{n} = 6,8 \times 1,03^n.\]
 
\item Selon ce modèle, quelle quantité de CO$_{2}$ serait-elle émise en 2010 ? On donnera le résultat, exprimé en milliards de tonnes, arrondi au dixième.	
\item Quelle serait, selon le modèle envisagé, la somme des émissions produites entre le 1\up{er} janvier 2000  et le 31 décembre 2010 ? 
\item Toujours selon le modèle envisagé, en quelle année la production de CO$_{2}$ atteindrait-elle le double de ce qu'elle fut en 2000 ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm.

On note H le point de coordonnées $(\ln 3~;~\ln 3)$.

\medskip
 
On se propose à présent d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
  

\begin{enumerate}
\item Vérifier, pour tout $x$ réel, l'égalité : $f(x) = x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}.$ 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $- \infty$. 
\item Démontrer que les droites $D_{1}$ d'équation $y = x - 2$ et $D_{2}$ d'équation $y = x + 2$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ courbe représentative de la fonction $f$. 
\item Préciser les positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et des droites $D_{1}$ et $D_{2}$. 
\item Montrer que, pour tout réel $x$ : 

\[f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^x - 3 \right)^2}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2}.\]
 
Présenter le tableau de variation de $f$. 
\item Montrer que H est un point de $\mathcal{C}_{f}$. Tracer sur un même graphique la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ ainsi que la tangente en H à $\mathcal{C}_{f}$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, qu'on notera $x_{0}$, sur $\R$. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. 
\end{enumerate}
\end{document}