\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès Merci à Roger Queille pour le sujet
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{pifont}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[np]{numprint} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Antilles juin 2011~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.}
 
\emph{Le candidat doit recopier sur sa copie la réponse qu'il estime correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne l'équation d'inconnue $z$ dans $\C :\quad z^2 - z + 1 = 0$.

Les solutions de cette équation sont :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$z = \cos \dfrac{5\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{3}$&$z = \cos \dfrac{\pi}{6} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z = \cos \dfrac{2\pi}{3} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$\\ 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$z' = \cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z' = \cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z' = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Une primitive $F$ de $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{1}{2}\ln \left(\text{e}^x + 1 \right)$&$\ln \left(\text{e}^x + 1 \right)$&$\dfrac{1}{\text{e}^x + 1}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans une entreprise, une machine fabrique des flacons en verre, de 500~mL. Un flacon peut présenter l'un des deux défauts suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item défaut A : le volume n'est pas conforme 
\item défaut B : le verre est de mauvaise qualité
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sur un lot de 100 flacons, les informations suivantes sont données :

\begin{description}
\item[ ] 10 présentent au moins le défaut A 
\item[ ] 6 présentent au moins le défaut B 
\item[ ] 2 présentent les deux défauts simultanément.
\end{description}
 
	\begin{enumerate}
		\item On tire au hasard un flacon dans le lot. Chacun des flacons ayant la même probabilité d'être tiré. La probabilité qu'un flacon ne présente aucun défaut est :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 		 
0,86 &0,84 &0,18\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item  Un flacon sans défaut rapporte 3~\euro{} à l'entreprise, un flacon avec un seul défaut coûte 1~\euro{} à l'entreprise et un flacon avec les deux défauts coûte 4~\euro{} à l'entreprise.
		 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque flacon choisi au hasard dans le lot de 100, associe le gain (positif ou négatif) correspondant.
 
L'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
0	&2,38	&$-2$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

	\end{enumerate}
\item On donne l'équation différentielle (E) : $3 y' = 2 y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur $\R$ et $y'$ sa dérivée.
 
La solution $f$ de (E) qui vérifie $f(0) = 3$ est définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$f(x) = - 3\text{e}^{\frac{2}{3}x}$&$f(x) = 3\text{e}^{-\frac{2}{3}x}$&$f(x) = 3\text{e}^{\frac{2}{3}x}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip
 
La désintégration du Thorium, corps radioactif, donne du Radium.
 
On désigne par $N_{0}$ le nombre d'atomes dans un échantillon de Thorium à l'instant $t = 0$, par $N_{1}$ le nombre d'atomes de Thorium un jour après, et, pour tout entier naturel $k$, par $N_{k}$ le nombre d' atomes de Thorium $k$ jours après.
 
On sait que le nombre d'atomes de Thorium diminue de 3,7\,\% par jour.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $N_{1}$ en fonction de $N_{0}$ puis $N_{k+1}$ en fonction de $N_{k}$. 
\item En déduire la nature de la suite $\left(N_{k}\right)$ en précisant sa raison et son premier terme. 
\item Un échantillon contient $10^{20}$~atomes à l'instant $t = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que $N_{k} = 10^{20}\times  0,963^k$. 
		\item Déterminer le nombre d'atomes de Thorium dans cet échantillon au bout de 2~ans (on admettra qu'il y a 365~jours par an). 
		\item Au bout de combien de jours le nombre d'atomes sera-t-il égal à la moitié de sa valeur initiale ? (Cette durée  s'appelle période ou demi-vie d'un corps radioactif).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-\infty~;~1]$ par 

\[f(x) = 2\text{e}^x - \text{e}^{2x}\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 5~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ ; interpréter géométriquement le résultat obtenu. 
\item  On admet que $f$ est dérivable sur $]-\infty~;~1]$ , on note $f'$ sa dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $]-\infty~;~1],\, f'(x) = 2\text{e}^x\left(1 -  \text{e}^x\right)$. 
		\item Résoudre sur $]-\infty~;~1]$ l'équation $f'(x) \geqslant 0$. 
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]-\infty~;~1]$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]-\infty~;~1]$. Indiquer la limite en $- \infty$ ainsi que les valeurs exactes de $f(0)$ et  $f(1)$.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $M$ le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de l'abscisse de $M$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en $M$. 
	\end{enumerate}
\item  Construire $T$ et $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-\infty~;~1]$. 
		\item Justifier graphiquement le signe de $f(x)$ sur $[0~;~\ln 2]$. 
		\item On considère le domaine $D$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$.
		 
Montrer que l'aire du domaine $D$ est égale à 12,5 cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}