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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,15cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle 

\[y'' + 25 y = 0,\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip
 
\item Déterminer la fonction $f$, solution de l'équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes : $f(\pi) = - \sqrt{3}$ et $f'(\pi) = 5$. 
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $t,~f(t) = 2\cos\left(5t + \dfrac{\pi}{6}\right)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2\cos x = 1$. 
		\item En déduire les solutions dans $\R$ de l'équation $f(t) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 

Un conteneur contient 100~flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un produit P et dosée de la manière suivante :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] 5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 10\:\% du produit P ;
\item[] 30 flacons sont remplis d'une solution dosée à 20\:\% du produit P ; 
\item[] 40 flacons sont remplis d'une solution dosée à 30\:\% du produit P ; 
\item[] 20 flacons sont remplis d'une solution dosée à 40\:\% du produit P ; 
\item[] 5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 50\:\% du produit P.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On tire au hasard un flacon du conteneur. On admet que tous les flacons ont la même probabilité d'être tirés.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon. Ainsi, si on tire l'un des cinq flacons dont le contenu est dosé à 10\:\%, $X$ prend la valeur $10$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
\item Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100~flacons dans un même récipient. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Le produit P étant toujours dosé soit à 10\:\%, soit à 20\:\%. soit à 30\:\%, soit à 40\:\%, soit à 50\:\%, on souhaite obtenir E$(X) = 29,2$ en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. Proposer une manière de parvenir à ce résultat. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  \dfrac{3}{2}x^2 - x^2 \ln x + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ (on rappelle que la limite de $x\ln x$ lorsque $x$ tend vers $0$ est $0$). 
\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 

\[f(x) = x^2\left(\frac{3}{2} - \ln x\right) + 1.\] 

En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		 
Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,

\[f'(x) = 2x(1 - \ln x).\] 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
	\end{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$. Indiquer les limites en $0$ et en $+ \infty$, ainsi que la valeur de l'extremum de la fonction $f$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ unique dans l'intervalle [4~;~5].
 
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 1~cm).
 
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ (faire figurer sur le tracé le point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$). 
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \dfrac{11}{18}x^3 -\dfrac{1}{3}x^3\ln x + x.\]
 
Vérifier que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 4$.
 
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$.
 
Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième. 
\end{enumerate}
\end{document}